El vértice de la parábola corresponde al punto en el que la gráfica de una función de segundo grado cambia su significado. La función de segundo grado, también llamada cuadrática, es la función del tipo f (x) = ax2 + bx + c.

Usando un plano cartesiano, podemos trazar una función cuadrática considerando los puntos de coordenadas (x, y) que pertenecen a la función.

En la imagen a continuación, tenemos la gráfica de la función f (x) = x2 – 2x – 1 es el punto que representa su vértice.

Coordenadas de vértice

Las coordenadas de vértice de una función cuadrática, dada por f (x) = ax2 + bx + c se puede encontrar usando las siguientes fórmulas:

Donde Δ = b2 – 4.a.c

Ejemplo

Encuentre las coordenadas de vértice de la función f (x) = – x2 + 4x – 2.

Solución

Para encontrar las coordenadas de vértice, aplicaremos las fórmulas anteriores. Para esto calcularemos el valor de Δ, considerando a = – 1, b = 4 yc = – 2. Así tenemos:

Δ = 42 – 4. (-1). (-2) = 16 – 8 = 8

Sustituyendo los valores, encontramos:

Por lo tanto, el punto de vértice tiene coordenadas V (2, 2) como se muestra en la imagen a continuación:

Valor máximo y mínimo

Según el signo del coeficiente el desde la función del segundo grado, la parábola puede tener su concavidad hacia arriba o hacia abajo.

Cuando el coeficiente el Si es negativo, la concavidad de la parábola disminuirá. En este caso, el vértice será el valor máximo alcanzado por la función.

Para funciones con coeficiente el Si es positivo, la concavidad estará hacia arriba y el vértice representará el valor mínimo de la función.

Imagen de la función

Dado que el vértice representa el punto máximo o mínimo de la función de segundo grado, se utiliza para definir el conjunto de imágenes de esta función, es decir, los valores y que pertenecen a la función.

Por lo tanto, hay dos posibilidades para el conjunto de imágenes de función cuadrática:

  • Para a> 0, el conjunto de imágenes será:
  • Para <0, el conjunto de imágenes será:

Por ejemplo, para establecer la imagen de la función f (x) = x2 + 2 x – 3, debemos encontrar el valor y del vértice de la función. Aplicando la fórmula, encontramos que el valor de yv es – 4.

Como el coeficiente el de la función es positiva (a> 0), la parábola tiene concavidad hacia arriba, por lo que este punto será el valor mínimo de la función como se muestra en la imagen a continuación:

Por lo tanto, todos los valores asumidos por la función serán mayores que – 4. Por lo tanto, f (x) = x2 + 2x – 3 habrá configurado la imagen dada por:

Problemas resueltos

1) Enem – 2015

Un estudiante está investigando el desarrollo de cierto tipo de bacteria. Para esta investigación, usa un invernadero para almacenar la bacteria. La temperatura dentro de este invernadero, en grados Celsius, viene dada por la expresión T (h) = – h2 + 22 h – 85, donde h representa la hora del día. Se sabe que la cantidad de bacterias es lo más grande posible cuando el invernadero alcanza su temperatura máxima y en este punto debe eliminarlas del invernadero. La tabla asocia los rangos de temperatura, en grados Celsius, con las clasificaciones: muy baja, baja, media, alta y muy alta.

Cuando el estudiante obtiene tantas bacterias como sea posible, la temperatura dentro del invernadero se clasifica como

a) muy bajo.
b) bajo.
c) promedio.
d) alto.
e) demasiado alto.

La función T (h) = – h2 + 22 h – 85 tiene un coeficiente a <0, por lo que su concavidad es descendente y su vértice representa el valor más alto asumido por la función, es decir, la temperatura más alta dentro del invernadero.

Como el problema nos dice que la cantidad de bacterias es lo más grande posible cuando se alcanza la temperatura máxima, entonces este valor será igual al vértice y. Así:

Identificamos en la tabla que este valor corresponde a la temperatura alta.

Alternativa: d) alta.

2) UERJ – 2016

Tenga en cuenta la función f, definida por: f (x) = x2 – 2kx + 29, para x ∈ IR. Si f (x) ≥ 4, para cada número real x, el valor mínimo de la función f es 4.

Por lo tanto, el valor positivo del parámetro k es:

a) 5
b) 6
c) 10
d) 15

La función f (x) = x2 – 2kx + 29 tiene un coeficiente a> 0, por lo que su valor mínimo corresponde al vértice de la función, es decir, yv = 4.

Considerando esta información, podemos aplicar en la fórmula de yv. Así tenemos:

Como la pregunta pide el valor positivo de k, entonces descuidaremos -5.

Alternativa: a) 5

Para obtener más información, consulte también: