Triángulo De Pascal Es un triángulo aritmético infinito donde se disponen los coeficientes de las expansiones binomiales. Los números que forman el triángulo tienen varias propiedades y relaciones.

Esta representación geométrica fue estudiada por el matemático chino Yang Hui (1238-1298) y muchos otros matemáticos.

Sin embargo, los estudios más famosos fueron el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1559) y el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).

Desde que Pascal estudió el triángulo aritmético más a fondo y demostró varias de sus propiedades.

En la antigüedad, este triángulo se usaba para calcular algunas raíces. Más recientemente, se usa para calcular probabilidades.

Además, los términos del binomio de Newton y la secuencia de Fibonacci se pueden encontrar a partir de los números que forman el triángulo.

Contenido

Coeficiente binomial

Los números que forman el triángulo de Pascal se llaman números binomiales o coeficientes binomiales. Un número binomial está representado por:

Con no y p números naturales yn ≥ p. El número no se llama numerador y el p denominador

El número binomial se calcula a partir de la relación:

Ser

Cn, p: combinación simple de n elementos tomados de p a p
n!: factorial de n, es decir, n. (n – 1). (n – 2) … 3.2.1
p!: factorial de p, es decir, p. (p – 1). (p – 2) … 3.2.1

Edificio triángulo

El triángulo de Pascal se construye colocando los números binomiales del mismo numerador en la misma fila y los coeficientes del mismo denominador en la misma columna. Así tenemos:

Al calcular los valores de los coeficientes, encontramos la siguiente representación del triángulo de Pascal:

Propiedades

1er) Todas las líneas tienen el número 1 como su primer y último elemento..

De hecho, el primer elemento de todas las líneas se calcula mediante:

y el último elemento de todas las filas se calcula mediante:

2do) El resto de los números en una línea se forman sumando los dos números más cercanos a la línea de arriba.

Esta propiedad se llama Stifel Ratio y se expresa por:

Puede verificar la relación de Stifel directamente en el triángulo de Pascal, porque desde la segunda línea, cada elemento es igual a la suma del elemento anterior con el anterior.

3ro) Los elementos equidistantes en la misma línea tienen valores iguales.

Ejemplos

a)

b)

4to) La suma de los elementos de una línea numeradora (n) será 2no.

Mira la tabla a continuación:

El binomio de Newton

El binomio de Newton es el poder de la forma (x + y)noser x y y números reales y no Un número natural. Para pequeños valores de no La expansión binomial se puede hacer multiplicando sus factores.

Sin embargo, para exponentes más grandes, este método puede volverse muy laborioso. Por lo tanto, podemos usar el triángulo de Pascal para determinar los coeficientes binomiales de esta expansión.

Podemos representar la expansión binomial (x + y)nocomo:

Tenga en cuenta que los coeficientes de expansión corresponden a números binomiales, y estos números son los que forman el triángulo de Pascal.

Por lo tanto, para determinar los coeficientes de expansión (x + y)no , debemos considerar la línea no correspondiente al triángulo de Pascal.

Ejemplo

Desarrollar el binomio (x + 3)6to:

Solución:

Como el exponente binomial es 6, usaremos los números para la sexta línea del triángulo de Pascal para los coeficientes de esta expansión. Así tenemos:

Sexta línea del triángulo de Pascal: 1 6 15 20 15 6 1

Estos números serán los coeficientes del desarrollo binomial.

(x + 3)6to = 1. x6to. 30 0 + 6 x5to. 31+15 x4 4. 32 + 20 x3. 33 + 15 x2. 34 4 + 6 x1. 35to+1. x0 0. 36to

Resolviendo las operaciones encontramos la expansión del binomio:

(x + 3)6to = x6to +18 x5to + 135x4 4 + 540x3 + 1215 x2 + 1458x + 729

Para obtener más información, también lea:

Ejercicios resueltos

1) Determine el séptimo término de desarrollo de (x + 1)Noveno.

2) Calcule el valor de las siguientes expresiones usando las propiedades del triángulo de Pascal.