Un ecuación de alto grado Recibe su nombre porque es una ecuación polinómica cuyo término de mayor grado es cuadrado. También llamada ecuación cuadrática, está representada por:

hacha2 + bx + c = 0

En una ecuación de segundo grado, el x es lo desconocido y representa un valor desconocido. Ya las letras el, b y c se llaman coeficientes de la ecuación.

Los coeficientes son números reales y el coeficiente el tiene que ser distinto de cero, de lo contrario se convierte en una ecuación de primer grado.

Resolver una ecuación de segundo grado significa buscar valores reales de x, que hacen que la ecuación sea verdadera. Estos valores se llaman raíces de la ecuación.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces reales.

Ecuaciones completas e incompletas de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado completar son aquellos que presentan todos los coeficientes, es decir, a, byc son distintos de cero (a, b, c ≠ 0).

Por ejemplo, la ecuación 5x2 + 2x + 2 = 0 está completo porque todos los coeficientes son distintos de cero (a = 5, b = 2 yc = 2).

Una ecuación cuadrática es incompleto cuando b = 0 o c = 0 o b = c = 0. Por ejemplo, la ecuación 2x2 = 0 está incompleto porque a = 2, b = 0 yc = 0

Ejercicios resueltos

1) Determinar los valores de x que hacen la ecuación 4x2 – 16 = 0 verdadero.

Solución:

La ecuación dada es una ecuación de segundo grado incompleta, con b = 0. Para ecuaciones de este tipo, podemos resolver aislando el x. Así:

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de 4 puede ser 2 y – 2, ya que estos dos números cuadrados dan como resultado 4.

Entonces las raíces de la ecuación 4x2 – 16 = 0 es x = – 2 y x = 2

2) Encuentre el valor de x para que el área del rectángulo de abajo sea igual a 2.

Solución:

El área del rectángulo se encuentra multiplicando la base por la altura. Por lo tanto, debemos multiplicar los valores dados e iguales a 2.

(x – 2) (x – 1) = 2

Ahora multipliquemos todos los términos:

x. x – 1. x – 2. x – 2. (-1) = 2
x2 – 1x – 2x + 2 = 2
x2 – 3x + 2 – 2 = 0
x2 – 3x = 0

Después de resolver las multiplicaciones y simplificaciones, encontramos una ecuación incompleta del segundo grado, con c = 0.

Este tipo de ecuación se puede resolver factorizandoporque el x se repite en ambos términos. Entonces lo pondremos en evidencia.

x. (x – 3) = 0

Para que el producto sea cero, x = 0 o (x – 3) = 0. Sin embargo, sustituyendo x por cero, las medidas en los lados son negativas, por lo que este valor no será la respuesta a la pregunta.

Entonces tenemos que el único resultado posible es (x – 3) = 0. Resolver esta ecuación:

x – 3 = 0
x = 3

Por lo tanto, el valor de la x para que el área del rectángulo sea igual a 2 es x = 3.

Fórmula Bhaskara

Cuando se completa una ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula de Bhaskara. para encontrar las raíces de la ecuación.

La fórmula se presenta a continuación:

Fórmula Delta

En la fórmula de Bhaskara, aparece la letra griega. Δ (delta), que se llama la ecuación discriminante, porque de acuerdo con su valor es posible saber cuántas raíces tendrá la ecuación.

Para calcular delta usamos la siguiente fórmula:

Paso a paso

Para resolver una ecuación de segundo grado utilizando la fórmula de Bhaskara, debemos seguir estos pasos:

1er paso: Identificar los coeficientes el, b y c.

Los términos de la ecuación no siempre aparecen en el mismo orden, por lo que es importante conocer los coeficientes, independientemente de la secuencia en la que se encuentren.

El coeficiente el es el número que está junto con x2el b es el número que acompaña al x y el c es el término independiente, es decir, el número que aparece sin x.

2do paso: Calcule el delta.

Para calcular las raíces es necesario conocer el valor delta. Para hacer esto, reemplazamos las letras en la fórmula con los valores de los coeficientes.

Podemos, por el valor delta, saber de antemano el número de raíces que tendrán la ecuación de segundo grado. Es decir, si el valor de Δ es mayor que cero (Δ> 0), la ecuación tendrá dos raíces reales y distintas.

De lo contrario, delta es menor que cero (Δ <0), la ecuación no tendrá raíces reales y si es igual a cero (Δ = 0), la ecuación tendrá solo una raíz.

3er paso: Calcular las raíces.

Si el valor encontrado para delta es negativo, no necesita hacer más cálculos y la respuesta es que la ecuación no tiene raíces reales.

Si el valor delta es igual o mayor que cero, debemos reemplazar todas las letras con sus valores en la fórmula de Bhaskara y calcular las raíces.

Ejercicio resuelto

Determinar las raíces de la ecuación 2x2 – 3x – 5 = 0

Solución:

Para resolver, primero debemos identificar los coeficientes, por lo que tenemos:

a = 2
b = – 3
c = – 5

Ahora podemos encontrar el valor de delta. Debemos tener cuidado con las reglas de las señales y recordar que primero debemos resolver la potenciación y la multiplicación y luego la suma y la resta.

Δ = (- 3)2 – 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Como el valor encontrado es positivo, encontraremos dos valores distintos para las raíces. Por lo tanto, debemos resolver la fórmula de Bhaskara dos veces. Tenemos entonces:

Entonces las raíces de la ecuación 2x2 – 3x – 5 = 0 es x = 5/2 y x = – 1.

Sistema de ecuaciones de segundo grado

Cuando queremos encontrar valores de dos incógnitas diferentes que satisfagan simultáneamente dos ecuaciones, tenemos un sistema de ecuaciones..

Las ecuaciones que componen el sistema pueden ser de primer y segundo grado. Para resolver este tipo de sistema podemos usar el método de sustitución y el método de suma.

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema:

Solución:

Para resolver el sistema podemos usar el método de suma. En este método, agregamos los términos similares de la primera ecuación con los de la segunda ecuación. Por lo tanto, reducimos el sistema a una ecuación.

Podemos simplificar aún más todos los términos de la ecuación en 3 y el resultado será la ecuación x2 – 2x – 3 = 0. Resolviendo la ecuación, tenemos:

Δ = 4 – 4. 1) (-3) = 4 + 12 = 16

Una vez que encontramos los valores de x, no debemos olvidar que todavía tenemos que encontrar los valores de y que hacen que el sistema sea verdadero.

Para hacer esto, simplemente reemplace los valores encontrados para x en una de las ecuaciones.

y1 – 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22

y2 – 6. (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = – 2

Por lo tanto, los valores que satisfacen el sistema propuesto son (3,22) y (-1,2)

Para obtener más información, también lea:

Ejercicios

1) Resuelve la ecuación cuadrática completa usando la fórmula de Bhaskara:

2 x2 + 7x + 5 = 0

En primer lugar, es importante observar cada coeficiente de la ecuación, por lo tanto:

a = 2
b = 7
c = 5

A través de la fórmula discriminante del ecuador, debemos encontrar el valor de Δ.

Esto luego encuentra las raíces de la ecuación por la fórmula general o la fórmula de Bhaskara:

Δ = 72 – 4. 2 5to
Δ = 49 – 40
Δ = 9

Tenga en cuenta que si el valor de Δ es mayor que cero (Δ> 0), la ecuación tendrá dos raíces reales y distintas.

Entonces, después de encontrar el Δ, reemplacémoslo en la fórmula de Bhaskara:

Por lo tanto, los valores de las dos raíces reales son: x1 = – 1 y x2 = – 5/2

2) Resolver las ecuaciones incompletas del segundo grado:

a) 5x2 – x = 0

Primero, buscamos los coeficientes de la ecuación:

a = 5
b = – 1
c = 0

Esta es una ecuación incompleta donde c = 0.

Para calcularlo podemos usar la factorización, que en este caso es poner x en evidencia.

5x2 – x = 0
x. (5x-1) = 0
En esta situación, el producto será cero cuando x = 0 o cuando 5x -1 = 0. Entonces calculemos el valor de x:

Entonces las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 1/5.

b) 2x2 – 2 = 0

a = 2
b = 0
c = – 2

Esta es una ecuación incompleta del segundo grado, donde b = 0, su cálculo se puede hacer aislando x:

x1 = 1 yx2 = – 1

Entonces las dos raíces de la ecuación son x1 = 1 y x2 = – 1

c) 5x2 = 0

a = 5
b = 0
c = 0

En este caso, la ecuación incompleta tiene coeficientes byc igual a cero (b = c = 0):

Por lo tanto, las raíces de esta ecuación tienen los valores x1 = x2 = 0