El Teorema de Pitágoras está relacionado con la longitud de los lados del triángulo rectángulo. Esta figura geométrica está formada por un ángulo interno de 90 °, llamado ángulo recto.

La declaración de este teorema es: "la suma de los cuadrados de sus collares corresponde al cuadrado de su hipotenusa".

Formula

De acuerdo con la declaración del teorema de Pitágoras, la fórmula se representa de la siguiente manera:

el2 = b2 + c2

Ser

el: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

Un hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados son los collares. El ángulo formado por estos dos lados es igual a 90º (ángulo recto).

También identificamos los pecaríes según un ángulo de referencia. Es decir, el collar puede llamarse collar adyacente o collar opuesto.

Cuando el collar está cerca del ángulo de referencia, se llama contiguoPor otro lado, si es contrario a este ángulo, se llama opuesto.

Triángulo de Pitágoras

Cuando mide los lados de un triángulo rectángulo son enteros positivos, el triángulo se llama triángulo pitagórico.

En este caso, el pecarí con collar y la hipotenusa se denominan "traje pitagórico" o "trío pitagórico". Para verificar si tres números forman un trío pitagórico, utilizamos la relación con2 = b2 + c2.

El trío pitagórico más conocido está representado por los números: 3, 4, 5. Siendo la hipotenusa igual a 5, el collar más grande igual a 4 y el collar más pequeño igual a 3.

Curiosamente, los múltiplos de estos números también forman un traje de Pitágoras. Por ejemplo, si multiplicamos por 3 el trío 3, 4 y 5, obtenemos los números 9, 12 y 15, que también forman un palo de Pitágoras.

Además de los trajes 3, 4 y 5, hay una multitud de otros trajes. Como ejemplo, podemos citar:

  • 5, 12 y 13
  • 7, 24, 25
  • 20, 21 y 29
  • 12, 35 y 37

Historia

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos, importantes y utilizados en matemáticas. Es esencial para resolver problemas de geometría analítica, geometría plana, geometría espacial y trigonometría.

Pitágoras de Samos, (570 a. C. – 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego que fundó la Escuela de Pitágoras. También llamada Sociedad Pitágora, incluyó estudios en matemáticas, astronomía y música.

Se cree que la primera demostración del teorema fue realizada por los miembros de esta escuela, los llamados pitagóricos, de ahí el nombre dado a este teorema.

Video

Vea el video a continuación para ver algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras.

Problemas vestibulares resueltos

1. (PUC) La suma de cuadrados en tres lados de un triángulo rectángulo es 32. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

De la información de la declaración, sabemos que2 + b2 + c2 = 32. Por otro lado, por el teorema de Pitágoras tenemos que2 = b2 + c2 .

Anular el valor de b2+ c2 por2 en la primera expresión encontramos:

el2 + a2 = 32 ⇒ 2. el2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16
a = 4

Alternativa: b) 4

2. (Enem)

En la figura anterior, que representa el diseño de una escalera con 5 escalones de la misma altura, la longitud total de la barandilla es igual a:

a) 1.9m
b) 2.1m
c) 2.0m
d) 1.8m
e) 2.2m

La longitud total del pasamanos será igual a la suma de los dos tramos de longitud igual a 30 cm con el tramo que no conocemos la medida.

Podemos ver en la figura que el tramo desconocido representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuya medida de una de las celosías es igual a 90 cm.

Para encontrar la medida del otro collar, debemos agregar la longitud de los 5 pasos. Por lo tanto, tenemos que b = 5. 24 = 120 cm.

Para calcular la hipotenusa, apliquemos el teorema de Pitágoras para este triángulo.

el2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm

Tenga en cuenta que podríamos haber utilizado la idea de trajes pitagóricos para calcular la hipotenusa, ya que los collares (90 y 120) son múltiplos de traje 3, 4 y 5 (multiplicando todos los términos por 30).

Por lo tanto, la medida total de la barandilla será:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2.1 m

Alternativa b) 2,1m

3. (UERJ) Millôr Fernandes, en un hermoso homenaje a las matemáticas, escribió un poema del cual extrajimos el fragmento a continuación:

En las hojas de muchos libros de matemáticas,
un cociente se enamoró un día locamente
por un desconocido
La miró con su incontable mirada.
y lo vio desde el ápice hasta la base: una figura extraña;
ojos romboides, boca trapezoidal,
cuerpo rectangular, senos esferoidales.
Hizo su vida paralela a la de ella,
hasta que se encontraron en Infinity.
"¿Quién eres?", Preguntó con radical ansia.
“Soy la suma de los cuadrados de los collares.
Pero puedes llamarme hipotenusa
. "

(Millôr Fernandes. Treinta años de mi mismo.)

El incógnito se equivocó al decir quién era. Para cumplir con el Teorema de Pitágoras, debes dar lo siguiente

a) “Soy el cuadrado de la suma de las colecciones. Pero puedes llamarme el cuadrado de la hipotenusa.
b) “Soy la suma de las colecciones. Pero puedes llamarme hipotenusa.
c) “Soy el cuadrado de la suma de las colecciones. Pero puedes llamarme hipotenusa.
d) “Soy la suma de los cuadrados de los collares. Pero puedes llamarme el cuadrado de la hipotenusa.

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