El teorema de Pitágoras indica que, en un triángulo rectángulo, la medición al cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las mediciones con collar.

Este teorema es uno de los más utilizados en matemáticas y, a menudo, hace preguntas al respecto o que son necesarias para resolver el problema.

Aproveche los ejercicios resueltos y comentados para responder todas sus preguntas sobre este importante contenido.

Problemas del concurso resueltos

1) Cefet / MG – 2016

Una cometa, cuya figura se muestra a continuación, fue construida en la forma del cuadrilátero ABCD, donde e. La barra de la cometa se cruza con la barra en su punto medio E, formando un ángulo recto. En la construcción de esta cometa, las medidas utilizadas son, respectivamente, 25 cm y 20 cm, y la medida es igual a la de.

En estas condiciones, la medida en cm es igual a
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Al observar la imagen de la pregunta, nos damos cuenta de que el segmento DE, que queremos encontrar, es igual al segmento BD restando el segmento BE.

Por lo tanto, como sabemos que el segmento BE es igual a 20 cm, entonces necesitamos encontrar el valor del segmento BD.

Tenga en cuenta que el problema nos brinda la siguiente información:

Entonces, para encontrar la medición de BD, necesitamos conocer el valor del segmento AC.

Como el punto E divide el segmento en dos partes iguales (punto medio), entonces. Por lo tanto, el primer paso es encontrar la medida del segmento CE.

Para encontrar la medida de CE, identificamos que el triángulo BCE es rectángulo, que BC es la hipotenusa y BE y CE son los que se muestran con el siguiente collar:

Luego aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del collar.

252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 – 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm

Para encontrar el collar también podríamos haber observado que el triángulo es pitagórico, es decir, la medida de sus lados son números múltiples de las medidas del triángulo 3, 4, 5.

Por lo tanto, cuando multiplicamos 4 por 5 tenemos el valor de la armadura (20) y si multiplicamos 5 por 5 tenemos la hipotenusa (25). Por lo tanto, el otro collar podría ser solo 15 (5: 3).

Ahora que hemos encontrado el valor CE, podemos encontrar las otras medidas:

AC = 2. EC ⇒ AC = 2.15 = 30 cm

Alternativa: c) 55

2) NIIF – 2017

Considere un triángulo equilátero lateral 5√3 ܿ݉. ¿Cuál es la altura y el área de este triángulo, respectivamente?

Primero, dibujemos el triángulo equilátero y tracemos la altura, como se muestra a continuación:

Tenga en cuenta que la altura divide la base en dos segmentos del mismo tamaño porque el triángulo es equilátero. También tenga en cuenta que el triángulo ACD en la imagen es un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, para encontrar la medida de la altura, utilizaremos el teorema de Pitágoras:

Conociendo la medida de altura, podemos encontrar el área a través de la fórmula:

Alternativa: e) 7.5 cm y 75√3 / 4 cm2

3) NIIF – 2016

En la figura a continuación, el valor de x e y, respectivamente, es

Para encontrar el valor de x, apliquemos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que tiene collares de 4 cm.

x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Para encontrar el valor de y, también usaremos el teorema de Pitágoras, ahora considerando que un collar mide 4 cm y el otro 9 cm (4 + 5 = 9).

y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm

Alternativa: a) 4√2 y √97

4) Aprendiz de marinero – 2017

Observe la siguiente figura.

En la figura anterior, hay un triángulo isósceles ACD, en el cual el segmento AB mide 3 cm, el lado desigual AD mide 10 med2 cm y los segmentos AC y CD son perpendiculares. Por lo tanto, es correcto decir que el segmento BD mide:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Considerando la información presentada en el problema, construimos la siguiente figura:

Según la figura, identificamos que para encontrar el valor de x, será necesario encontrar la medida del lado que llamamos a.

Como el triángulo ACD es un rectángulo, aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del collar a.

Ahora que conocemos el valor de a, podemos encontrar el valor de x considerando el triángulo rectángulo BCD.

Tenga en cuenta que la paca BC es igual a la medida de menos 3 cm, es decir, 10 – 3 = 7 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos:

Alternativa: d) √149 cm

5) IFRJ – 2013

El patio deportivo Campus Arrozal de un Instituto Federal es rectangular, de 100 m de largo y 50 m de ancho, representado por el rectángulo ABCD en esta figura.

Alberto y Bruno son dos estudiantes que practican deportes en el patio. Alberto camina del punto A al punto C en la diagonal del rectángulo y regresa al punto de partida a lo largo del mismo camino. Bruno parte del punto B, da una vuelta completa en el patio, camina por el costado y regresa al punto de partida. Por lo tanto, considerando √5 = 2.24, se afirma que Bruno caminó más que Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

La diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectangulares, la hipotenusa es igual a la diagonal y los collares a los lados del rectángulo.

Entonces, para calcular la medida diagonal, apliquemos el teorema de Pitágoras:

Teniendo en cuenta que Alberto fue y regresó, cubrió 224 m.

Bruno ya recorrió una distancia igual al perímetro del rectángulo, es decir:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Por lo tanto, Bruno caminó 76 m más que Alberto (300 – 112 = 76 m).

Alternativa: c) 76 m

6) Enem – 2017

Para decorar una mesa de fiesta infantil, un chef usará un melón esférico con un diámetro de 10 cm, que servirá como soporte para pegar varios dulces. Quitará una tapa esférica del melón, como se ilustra, y, para garantizar la estabilidad de este soporte, lo que dificultará que el melón ruede sobre la mesa, el saliente cortará de modo que el radio r de la sección circular esté al menos 3 cm. Por otro lado, el chef querrá tener el área más grande posible en la región donde se colocarán los dulces.

Para lograr todos sus objetivos, el jefe debe cortar la tapa del melón a una altura h, en centímetros, igual a

Al observar la figura presentada en la pregunta, identificamos que la altura h se puede encontrar disminuyendo la medición del segmento OA de la medición del radio de la esfera (R).

El radio de la esfera (R) es la mitad de su diámetro, que en este caso es igual a 5 cm (10: 2 = 5).

Por lo tanto, necesitamos encontrar el valor del segmento OA. Para esto, consideraremos el triángulo OAB representado en la figura a continuación y aplicaremos el teorema de Pitágoras.

5to2 = 32 + x2
x2 = 25 – 9
x = √16
x = 4 cm

También podríamos encontrar el valor de x directamente, notando que este es el triángulo pitagórico 3,4 y 5.

Por lo tanto, el valor de h será igual a:

h = R – x
h = 5 – 4
h = 1 cm

Alternativa: c) 1

7) Enem – 2016 (segunda aplicación)

La pelota de bochas es un deporte que se juega en los vástagos, que son terrenos planos y nivelados, delimitados por tablas de madera perimetrales. El objetivo de este deporte es lanzar bolas de bochas, que son bolas hechas de un material sintético, para colocarlas lo más cerca posible del bolin, que es una bola más pequeña, preferiblemente hecha de acero, previamente lanzada. La Figura 1 ilustra una pelota de bochas y un bolin que fueron arrojados a una cancha. Supongamos que un jugador ha lanzado una bola de bochas de 5 cm (2 pulg.) Que se ha apoyado contra el radio de 2 cm, como se muestra en la Figura 2.

Considere el punto C como el centro de la bocha y el punto O como el centro del bolim. Se sabe que A y B son los puntos donde la bocha y el bolin, respectivamente, tocan el piso del campo, y que la distancia entre A y B es igual a d. En estas condiciones, ¿cuál es la relación entre d y el radio del bolin?

Para calcular el valor de la distancia d entre los puntos A y B, construyamos una figura que une los centros de las dos esferas, como se muestra a continuación:

Tenga en cuenta que la figura punteada azul tiene forma trapezoidal. Vamos a dividir este trapecio, como se muestra a continuación:

Al dividir el trapecio, obtenemos un rectángulo y un triángulo rectángulo. La hipotenusa del triángulo es igual a la suma del radio de la bocha con el radio del bolin, es decir, 5 + 2 = 7 cm.

La medida de una de las pinzas es igual a d y la medida de la otra pinza es igual a la medida del segmento CA, que es el radio de la bola de bochas menos el radio del bolo (5 – 2 = 3).

Por lo tanto, podemos encontrar la medida de d aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, a saber:

7mo2 = 32 – d2
d2 = 49 – 9
d = √40
d = 2 √10

Por lo tanto, la relación entre la distancia d y el bolin estará dada por:

Alternativa: e) √10

8) Enem – 2014

Diariamente, una residencia consume 20 160 Wh. Esta residencia tiene 100 celdas solares rectangulares (dispositivos que pueden convertir la luz solar en energía eléctrica) de dimensiones 6 cm x 8 cm. Cada una de estas celdas produce 24 Wh por centímetro de diagonal a lo largo del día. El propietario quiere producir exactamente la misma cantidad de energía al día que consume su hogar. ¿Cuál debería ser la acción de este propietario para lograr su objetivo?

a) Eliminar 16 celdas.
b) Eliminar 40 celdas.
c) Añadir 5 celdas.
d) Añadir 20 celdas.
e) Añadir 40 celdas.

Primero, necesitará averiguar cuál es la producción de energía de cada celda. Para esto necesitamos encontrar la medida diagonal del rectángulo.

La diagonal es igual a la hipotenusa del triángulo triplete igual a 8 cm y 6 cm. Luego calcularemos la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.

Sin embargo, observamos que el triángulo en cuestión es pitagórico, siendo un múltiplo del triángulo 3,4 y 5.

Por lo tanto, la medida de hipotenusa será igual a 10 cm, ya que los lados del triángulo pitagórico 3,4 y 5 se multiplican por 2.

Ahora que conocemos la medición diagonal, podemos calcular la energía producida por las 100 células, es decir:

E = 24. 10 100 = 24,000 Wh

Como la energía consumida es igual a 20 160 Wh, tendremos que reducir el número de células. Para encontrar este número haremos:

24,000 – 20,160 = 3,840 Wh

Dividiendo este valor por la energía producida por una célula, encontramos el número que debería reducirse, es decir:

3.840: 240 = 16 celdas

Alternativa: a) Eliminar 16 celdas.

Para obtener más información, consulte también: