La tabla de verdad es un dispositivo utilizado en el estudio de la lógica matemática. Usando esta tabla es posible definir el valor lógico de una proposición, es decir, saber cuándo una oración es verdadera o falsa.

En lógica, las proposiciones representan pensamientos completos e indican declaraciones de hechos o ideas.

La tabla de verdad se usa en proposiciones compuestas, es decir, oraciones formadas por proposiciones simples, y el resultado del valor lógico depende solo del valor de cada proposición.

Para combinar proposiciones simples y formar proposiciones compuestas, se utilizan conectores lógicos. Estos conectores representan operaciones lógicas.

En la tabla a continuación, indicamos los conectores principales, los símbolos utilizados para representarlos, la operación lógica que representan y el valor lógico resultante.

Ejemplo

Ingrese el valor lógico (V o F) de cada una de las siguientes proposiciones:

a) no p, donde p es "π es un número racional".

Solución

La operación lógica que debemos hacer es la negación, por lo que la proposición ~ p puede definirse como "π no es un número racional". A continuación presentamos la tabla de verdad de esta operación:

Como "π es un número racional" es una proposición falsa, entonces, de acuerdo con la tabla de verdad anterior, el valor lógico de ~ p será verdadero.

b) π es un número racional y es un número irracional.

Solución

En este caso, debemos encontrar el valor lógico de la conjunción de dos proposiciones (p ^ q). La tabla de verdad de esta operación lógica es:

Siendo la primera proposición falsa y la segunda verdadera, vemos en la tabla de verdad que el valor lógico de la proposición p ^ q será falso.

c) π es un número racional o es un número irracional.

Solución

Considerando la disyunción conectiva (p v q), podemos indicar la siguiente tabla de verdad:

Como q es una proposición verdadera, entonces el valor lógico de la proposición p v q también será verdadero, como podemos ver en la tabla de verdad anterior.

d) Si π es un número racional, entonces es un número irracional.

Solución

En este ítem tenemos la operación lógica condicional p → q. La tabla de verdad será igual a:

Siendo el primer falso y el segundo verdadero, de la tabla concluimos que el resultado de esta operación lógica será verdadero.

Es importante tener en cuenta que "es un número irracional" no es una consecuencia del hecho de que "π es un número racional". Lo que el condicional representa es solo una relación entre valores lógicos.

e) π es un número racional aunque solo sea irracional.

Solución

En este ítem tenemos la operación lógica. La tabla de verdad será igual a:

De la tabla, concluimos que cuando la primera proposición es falsa y la segunda es verdadera, el valor lógico será falso.

Edificio de la mesa de la verdad

En la tabla de verdad se ponen los posibles valores lógicos (verdadero o falso) para cada una de las proposiciones simples que componen la proposición compuesta y su combinación.

El número de filas en la tabla dependerá del número de oraciones que componen la proposición. La tabla de verdad de una proposición formada por no proposiciones simples tendrán 2no lineas

Por ejemplo, la tabla de verdad de la proposición "x es un número real y mayor que 5 y menor que 10" tendrá 8 filas porque la oración se compone de 3 proposiciones (n = 3).

Para poner todas las posibilidades posibles de valores lógicos en la tabla, debemos llenar cada columna con 2n-k valores verdaderos seguidos de 2n-k valores falsos, con k que varía de 1 a n.

Después de completar la tabla con los valores lógicos de las proposiciones, debemos agregar columnas relativas a las proposiciones con conectores.

Ejemplo

Construya la tabla de verdad de la proposición P (p, q, r) = p ^ q ^ r.

Solución

En este ejemplo, la proposición consta de 3 oraciones (p, q y r). Para construir la tabla de verdad, usaremos el siguiente esquema:

Por lo tanto, la tabla de verdad de la oración tendrá 8 filas y será verdadera cuando todas las proposiciones también sean verdaderas.

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