Las relaciones métricas relacionan las medidas de los elementos de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo de 90 °).

Los elementos de un triángulo rectángulo se muestran a continuación:

Ser:

a: medición de hipotenusa (opuesto al ángulo de 90 °)
b: con cuello
c: catheto
h: altura relativa a la hipotenusa
m: proyección del cathet c sobre la hipotenusa
n: proyección del catéter b sobre la hipotenusa

Contenido

Similitud y relaciones métricas

Para encontrar las relaciones métricas, utilizaremos similitudes de triángulos.. Considere los triángulos similares ABC, HBA y HAC, representados en las imágenes:

Como los triángulos ABC y HBA son similares (), tenemos las siguientes proporciones:

Usando eso encontramos la relación:

De la similitud entre los triángulos HBA y HAC encontramos la proporción:

También tenemos que la suma de las proyecciones myn es igual a hipotenusa, es decir:

Teorema de Pitágoras

La más importante de las relaciones métricas es el teorema de Pitágoras.. Podemos demostrar el teorema usando la suma de dos relaciones encontradas anteriormente.

Agreguemos la relación b2 = a. n con c2 = a. m, como se muestra a continuación:

Como a = m + n, sustituyendo en la expresión anterior, tenemos:

Por lo tanto, el teorema de Pitágoras se puede expresar como:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los pecaríes con collar.

Ejemplos

1) Encuentre el valor de x e y en la figura a continuación:

Primero calcularemos el valor de la hipotenusa, que en la figura está representada por y.
Usando la relación: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar el valor de x, usaremos la relación b2 = a.n, así:
x2 = 12. 3 = 36

2) La medida de la altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 12 cm y una de las proyecciones mide 9 cm. Calcule la medida de los collares de este triángulo.

Primero, encontremos el valor de la otra proyección usando la relación: h2 = m. no

Encontremos el valor de la hipotenusa usando la relación a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Ahora es posible calcular el valor de las pinzas utilizando las relaciones b2 = a. nyc2 = a. m

Fórmulas

En la tabla a continuación, hemos reunido las relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

Para obtener más información, también lea:

Ejercicios resueltos

1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y una de las celosías mide 8 cm. En estas condiciones, determine:

a) la medida de altura relativa a la hipotenusa
b) el área del triángulo

2) Determine la medida de las proyecciones en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm y uno de los collares 5