Regla de Sarrus
La regla de Sarrus es una técnica de cálculo para determinar el determinante de una matriz de 3X3. Esta regla puede ser usada para calcular el determinante de una matriz 3X3 sin necesidad de usar el proceso de Gauss-Jordan.
Cómo funciona la regla de Sarrus
La regla de Sarrus consiste en la siguiente secuencia de pasos:
- Calcula la primera columna ( [a11, a21, a31] ).
- Multiplica los elementos de la primera columna (a11, a21, a31) por los elementos de la segunda y tercera fila de la matriz de la siguiente manera: a11x(a22x a33 – a32x a23) + a21x(a32x a13 – a12x a33) + a31x(a12x a23 – a22x a13)
- Realiza lo mismo con la segunda columna ( [a12, a22, a32] ).
- Realiza lo mismo con la tercera columna ( [a13, a23, a33] ).
- Realiza la resta entre la primera y segunda columna y multiplica el resultado por la tercera columna.
- Finalmente suma el resultado obtenido en los pasos anteriores.
Ejemplo
Supongamos que queremos determinar el determinante de la siguiente matriz 3×3:
A =
| 4 | 5 | 7 |
| 2 | 9 | 3 |
| 6 | 1 | 8 |
Usando la regla de Sarrus, primero calcularemos la primera columna: [4, 2, 6]. Entonces los pasos a seguir son:
- Calculemos 4x(9×8-3×1)+2x(3×7-7×9)+6x(7×1-9×7) = 48-21+42 = 69
- Calculemos 5x(2×8-6×3)+9x(6×7-4×8)+1x(4×3-2×7) = -90+126+6 = 42
- Calculemos 7x(2×1-6×9)+3x(6×8-4×3)+8x(4×9-2×8) = -14+72-32 = 26
- Restemos 69-42 = 27 y multipliquemos el resultado por 26 = 702
- Finalmente sumamos 68+42+26 = 702
Por lo tanto, el determinante de la matriz A es 702.
Regla de Sarrus
La regla de Sarrus es una técnica para calcular el determinante de una matriz de 3×3. Su origen se debe al matemático francés Pierre-Simon Laplace y fue popularizada por el primer decano de la Facultad de Matemáticas de París, Germinal Pierre Sarrus (1798-1855).
¿Cómo funciona la regla de Sarrus?
Esta regla se basa en un proceso deductivo lógico para calcular el determinante de una matriz de 3×3. Consiste en multiplicar los elementos de las columnas de la matriz de dos en dos, sumar los productos y después restar los productos de la otra diagonal.
Pasos a seguir para aplicar la regla de Sarrus
Para aplicar la regla de Sarrus, se deben siguir los siguientes pasos:
- Múltiplicar los elementos de las dos primeras columnas de izquierda a derecha.
- Múltiplicar los elementos de la última columna.
- Sumar los productos de los dos primeros pasos.
- Múltiplicar los elementos de la última columna restando en el orden da izquierda a derecha.
- Restar los dos productos anteriores.
Ejemplo
Consideremos la siguiente matriz:
begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9
end{bmatrix}
Para aplicar la regla de Sarrus, debemos hacer lo siguiente:
Primero, múltiplicamos los elementos de las dos primeras columnas:
begin{align*}
1times 4 + 2times 5 + 3times 8 &= 32 +10 + 24 &=66 \
7times 4 + 8 times 5 + 9 times 6 &=28 + 40 +54&=122
end{align*}
Después, múltiplicamos los elementos de la última columna:
begin{align*}
1times 9 + 2times 8 +3times 6 &= 9 + 16 + 18 &=43 \
7times 9 + 8 times 8 + 9times 6&= 63 + 64 + 54&=181
end{align*}
Sumamos los dos resultados anteriores:
begin{align*}
66 + 122 &= 188\
43 + 181 &= 224
end{align*}
Finalmente, restamos los dos productos:
begin{align*}
188 – 224 &= -36
end{align*}
Por lo tanto, el determinante de la matriz es -36.
Regla de Sarrus: cómo se usa
La Regla de Sarrus es un método para determinar el determinante de una matriz cuadrada. El método le permite simplificar operaciones que involucran el determinante de una matriz cuadrada, ahorrándole tiempo y esfuerzo. Esta regla se descubrió en 1815 y fue nombrada en honor a su creador, el matemático francés Sarrus.
Elementos de la Regla de Sarrus
- Tenga en cuenta que solo puede utilizar la Regla de Sarrus con matrices cuadradas. Una matriz cuadrada es un conjunto de números organizados en filas y columnas, donde el número de filas es igual al número de columnas.
- Para utilizar el método de la regla de Sarrus con una matriz cuadrada, debe multiplicar el primer número de cada fila por el segundo número de cada columna y luego sumar esos productos. Esto se hace para cada celda de la matriz
- Una vez que haya calculado los productos para cada celda, multiplique el primer número de la primera columna por el segundo número de la segunda fila; luego, multiplique el segundo número de la primera columna por el primer número de la segunda fila. Reste el resultado de estas dos multiplicaciones de los productos de la matriz.
Ejemplos de la regla de Sarrus
Ejemplo 1: Si está trabajando con la siguiente matriz cuadrada …
1 2 3
4 5 6
7 8 9
… la regla de Sarrus sugiere que multiplique el primer número de cada fila por el segundo número de cada columna y luego sume esos productos. De esta manera, tendrás lo siguiente:
1×5 + 2×6 + 3×4 = 5 + 12 + 12 = 29
Luego, multiplique el primer número de la primera columna (1) por el segundo número de la segunda fila (8) y multiplique el segundo número de la primera columna (2) por el primer número de la segunda fila (4). Esto es: 1×8 + 2×4 = 8 + 8 = 16. Resta los productos de la matriz de la multiplicación de los números de las filas y columnas para obtener el determinante de la matriz: 29-16 = 13.
Ejemplo 2: Si está trabajando con la siguiente matriz cuadrada …
2 4 6
3 5 7
1 8 9
… entonces la regla de Sarrus sugiere que multiplique el primer número de cada fila por el segundo número de cada columna y luego sumar esos productos. De esta manera, tendrás lo siguiente:
2×7 + 4×9 + 6×3 = 14 + 36 + 18 = 68
Luego, multiplique el primer número de la primera columna (2) por el segundo número de la segunda fila (8) y multiplique el segundo número de la primera columna (4) por el primer numero de la segunda fila (3). Esto es: 2×8 + 4×3 = 16 + 12 = 28. Resta los productos de la matriz de la multiplicación de los números de las líneas y columnas para obtener el determinante de la matriz: 68-28 = 40.
Esperamos que ahora tenga una mejor comprensión de cómo usar la regla de Sarrus para determinar el determinante de una matriz cuadrada.