El enraizamiento es la operación que realizamos cuando queremos averiguar qué número multiplicado por sí mismo una cierta cantidad de veces da un valor que conocemos.

Ejemplo

¿Cuál es el número que multiplicado por sí mismo 3 veces da 125?

Por prueba podemos encontrar que:

5x5x5 = 125

Entonces 5 es el número que estamos buscando.

Símbolo de la raíz

Para indicar la raíz usamos la siguiente notación:

Ser

no El del radical. Indica cuántas veces el número que buscamos se ha multiplicado por sí mismo.
X el enraizamiento Indica el resultado de multiplicar el número que estamos buscando.

Cuando no aparece ningún valor en el radical, su valor es igual a 2. Esta raíz se llama raíz cuadrada.

La raíz del de 3 también recibe un nombre especial y se denomina raíz cúbica.

Ejemplos

3√27 (Leer raíz cúbica de 27)
5to√32 (Lee la quinta raíz de 32)
√400 (Lee la raíz cuadrada de 400)

Propiedades de la raíz

Las propiedades de raíz son muy útiles cuando necesitamos simplificar radicales.

Enraizamiento y Potenciación

El enraizamiento es la operación matemática inversa de potenciación. Por lo tanto, podemos encontrar el resultado de una raíz que busca la potenciación que resulta en la raíz propuesta.

Ejemplos

a) √81 = 9, porque sabemos que 92 = 81
b) 4 400010 000 = 10, porque sabemos que 104 4 = 10,000

Simplificación Radical

A menudo no conocemos directamente el resultado raíz o el resultado no es un entero. En este caso podemos simplificar el radical.

Para hacer la simplificación debemos seguir los siguientes pasos:

1º) Factorizar el número en factores primos.
2º) Escribe el número en forma de potencia.
3º) Coloca la potencia que se encuentra en el radical y divide por el mismo número el del radical y el exponente de la potencia (propiedad de la raíz).

Ejemplo

Calcular 5to√ 243

Primero convierta el número 243 en factores primos:

243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35to

Luego pon el resultado en la raíz:

5to√243 = 5to√35to

Para simplificar, debemos dividir el y el exponente de potenciación por el mismo número. Cuando esto no es posible, significa que el resultado raíz no es un entero.

5: 5√35: 5, tenga en cuenta que dividir el por 5 da como resultado 1, por lo que cancelamos el radical.

Así,

5to√243 = 3

Racionalización de los denominadores

La racionalización de los denominadores consiste en transformar una fracción que tiene un número irracional en el denominador en una fracción equivalente con denominador racional.

Ejemplos

Operaciones radicales

Suma y resta

Para sumar o restar debemos identificar si los radicales son similares, es decir, si tienen el mismo y raíz.

Caso 1 – Radicales similares

Para sumar o restar radicales similares, debemos repetir el radical y sumar o restar sus coeficientes.

Ejemplos

a) 20 6to√ 3 + 103 6to√ 3 = 123 6to√ 3
b) 5to√13 – 43 5to√13 = 13 5to√13
c) 2 3+5 + 8 3√ 5 – 4 3√5 = 6 3√5

Caso 2: radicales similares después de la simplificación

En este caso, debemos simplificar inicialmente los radicales para que sean similares. Luego haremos como en el caso anterior.

Ejemplos

a) 8 √ 6 + 9 √ 24 = 8 √ 6 + 9 √ (22. 2. 3) = 8 √ 6 + (9.2) √ 6 = 26 √ 6
b) 5 3√ 81 – 4 3√ 3 = 5 3√ (33. 3) – 4 3√ 3 = 5.3 3√ 3 – 4 3√ 3 = 15 3√ 3 – 4 3√ 3 = 11 3√ 3

Caso 3 – Los radicales no son similares

Calculamos los valores de los radicales y luego realizamos la suma o resta.

Ejemplos

a) √81 + √25 = 9 + 5 = 14
b) √5 – √2 = 2.24 – 1.41 = 0.82 (valores aproximados, ya que la raíz cuadrada de 5 y 2 son números irracionales)

Multiplicación y división

Caso 1 – Radicales con el mismo

Repita la raíz y multiplique o divida las raíces.

Ejemplos

a) 3√ 7. 3√ 4 = 3√ (7 .4) = 3√28
b) 5to√ 194: 5to√ 97 = 5to√ (194: 97) = 5to√2

Caso 2 – Radicales con diferentes s

Primero debemos reducir al mismo , luego podemos multiplicar o dividir los radicandos.

Ejemplos

a) 3√ 6. √ 3 = 3×2√ 61×2 . 2×3√ 31×3 = 6to√ 36. 6to√ 27 = 6to72 972
b) 3√ 4: 5to√ 8 = 3×5√ 41×5 : 5×3√ 81×3 = 15√ (1024: 512) = 15√ 2

Aprende también sobre

Ejercicios

1) ENEM – 2010

Aunque el de masa corporal (IMC) se usa ampliamente, todavía existen numerosas restricciones teóricas sobre el uso y los rangos normales recomendados. El de peso recíproco (PIR), según el modelo alométrico, tiene una mejor base matemática, ya que la masa es una variable de dimensiones cúbicas y altura, una variable de dimensiones lineales. Las fórmulas que determinan estos s son:

Si una niña que pesa 64 kg tiene un IMC igual a 25 kg / m2, entonces tiene un PIR igual a

a) 0.4 cm / kg1/3
b) 2.5 cm / kg1/3
c) 8 cm / kg1/3
d) 20 cm / kg1/3
e) 40 cm / kg1/3

2) ENEM – 2013 (adaptado)

Muchos procesos fisiológicos y bioquímicos, como el ritmo cardíaco y la frecuencia respiratoria, tienen escalas construidas a partir de la relación entre la superficie y la masa (o volumen) del animal. Una de esas escalas, por ejemplo, considera que "el cubo de la superficie de un mamífero S es proporcional al cuadrado de su masa M"

HUGHES-HALLETT, D. y col. Cálculo y aplicaciones. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Esto es equivalente a decir que para una constante k> 0, el área S se puede escribir en función de M a través de la expresión: