Un racionalización de denominadores Es un procedimiento cuyo objetivo es transformar una fracción con un denominador irracional en una fracción equivalente con un denominador racional.

Utilizamos esta técnica porque el resultado de dividir por un número irracional tiene un valor con muy poca precisión.

Cuando multiplicamos el denominador y el numerador de una fracción por el mismo número, obtenemos una fracción equivalente, es decir, fracciones que representan el mismo valor.

Así, racionalizar consiste en multiplicar el denominador y el numerador por el mismo número. El número elegido para esto se llama conjugado.

Conjugado de un número

La conjugación del número irracional es la que cuando se multiplica por el irracional dará como resultado un número racional, es decir, un número sin la raíz.

Cuando es raíz cuadrada, el conjugado será igual a la raíz misma, porque la multiplicación del número por sí misma es igual al número al cuadrado. De esta manera puedes eliminar la raíz.

Ejemplo 1

Encuentra el conjugado de raíz cuadrada de 2.

Solución

El conjugado de es en sí mismo, porque

Cuando la raíz tiene un distinto de 2, el conjugado tendrá el mismo que la raíz, pero será necesario encontrar el exponente que, sumado al exponente del número inicial, dé como resultado un valor igual al raíz.

Ejemplo 2

¿Cuál es el conjugado de raíz cúbica de 2?

Solución

Para encontrar el conjugado de, no es posible simplemente multiplicar por la raíz cúbica de 2, porque el resultado será la raíz cúbica de 4 y no será posible eliminar la raíz.

Tenga en cuenta que el exponente de 2 es 1, por lo que si sumamos 2, tenemos el nuevo exponente de 3, que es igual al raíz. Por lo tanto, tenemos:

Por lo tanto, el conjugado de raíz cúbica de 2 es la raíz cúbica de 4 (22 = 4).

A veces puede aparecer una suma o resta de raíces cuadradas en el denominador. En este caso, el conjugado será igual a las raíces con la operación inversa.

Ejemplo 3

¿De qué es el conjugado?

Solución

El conjugado será igual a, porque multiplicar estos números da como resultado un número racional, es decir:

Para obtener más información, consulte también:

Racionalizar una fracción

Racionalizar una fracción, debemos seguir estos pasos:

  • Encuentra el denominador conjugado. Como hemos visto, el conjugado debe ser tal que elimine la raíz del denominador.
  • Multiplica el conjugado encima y debajo de la fracción.
  • Simplifica la fracción equivalente encontrado.

Ejemplos

1) El área del triángulo que se muestra a continuación es de 15 cm2. Suponiendo que su base es igual, encuentre el valor de su altura.

Solución

El área del triángulo se encuentra multiplicando la base por la altura y dividiendo por 2, por lo tanto tenemos:

Como el valor encontrado para la altura tiene una raíz en el denominador, racionalicemos esta fracción. Para esto debemos encontrar el conjugado raíz. Como la raíz es cuadrada, el conjugado será la raíz misma.

Entonces multipliquemos el numerador y el denominador de la fracción por este valor:

Finalmente, podemos simplificar la fracción dividiendo arriba y abajo entre 5. Tenga en cuenta que no podemos simplificar el 5 del radical. Así:

2) Racionalizar la fracción

Solución

Comencemos por encontrar el conjugado de raíz cúbica de 4. Ya sabemos que este número debe ser tal que cuando se multiplica por la raíz, dará como resultado un número racional.

Así que tenemos que pensar que si podemos escribir radicando como una potencia exponente de 3, podemos eliminar la raíz.

El número 4 se puede escribir como 22entonces, si multiplicamos por 2, el exponente cambiará a 3. Por lo tanto, si multiplicamos la raíz cúbica de 4 por la raíz cúbica de 2, tendremos un número racional.

Multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por esta raíz nos da:

Ejercicios resueltos

1) IFCE – 2017

Aproximando los valores al segundo decimal, se obtienen 2.23 y 1.73, respectivamente. Aproximando el valor al segundo decimal, obtenemos

a) 1.98.
b) 0.96.
c) 3.96.
d) 0.48.
e) 0.25.

2) EPCAR – 2015

El valor de la suma

es un numero

a) natural menos de 10
b) naturales mayores de 10
c) racional no entero.
d) irracional.

Vea la resolución comentada de estos y otros problemas en Radiación – Ejercicios.