Racionalizacion de los denominadores


Racionalización de Denominadores

La racionalización de denominadores es un concepto matemático que se relaciona con la simplificación de fracciones. Consiste en una técnica para encontrar una expresión equivalente de una fracción, ya sea eliminando raíces o factorizando en la parte inferior.

Cómo se realiza la racionalización de denominadores?

  • 1. Despeje de raíces cuadradas:

    • Por ejemplo, si se tiene una fracción de la forma: $$frac{a}{sqrt{b}}$$ Esto se puede simplificar utilizando el cuadrado del denominador: $$frac{a}{sqrt{b}} cdot frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{a cdot sqrt{b}}{b}$$

  • 2. Desarrollo del factor sobre el denominador:

    • Para esto, es importante conocer algunas propiedades de los números primos:

      • si $$a divides b divides c implies a divides c$$
      • si $$a divides b times c implies a divides b text{ o } a divides c$$
      • si $$a divides b times c implies a^2 divides b^2 times c$$

Es importante también conocer el teorema del factor común, el cual nos dice que, si hay un factor común en dos o más términos, éste puede ser sacado afuera del paréntesis, es decir, fue llevado al lado del numerador.

Ejemplos prácticos

  • Simplifique la siguiente fracción: $$frac{2}{sqrt{8}-sqrt{15}-sqrt{12}}$$

    • Primero, se realiza el despeje de raíces cuadradas en los denominadores:
    • $$frac{2}{sqrt{8}-sqrt{15}-sqrt{12}} cdot frac{sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12}}{sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12}} =frac{2(sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12})}{8-15-12}$$
    • A continuación, se desarrollan los factores de los denominadores:
    • $$frac{2(sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12})}{8-15-12}=frac{2(sqrt{8}-sqrt{3}+3sqrt{2})}{-21} $$
    • se llevan los factores al numerador:
    • $$frac{2(sqrt{8}-sqrt{3}+3sqrt{2})}{-21}= frac{-2(sqrt{24}-3sqrt{3})}{-21}=frac{sqrt{24}-3sqrt{3}}{21} $$

Cómo se puede comprobar, utilizando la técnica de racionalización de denominadores se pudo simplificar la fracción dada, al quedarse con $$frac{sqrt{24}-3sqrt{3}}{21}$$

Racionalización de los Denominadores

¿Qué significa racionalizar los denominadores?

Racionalizar los denominadores significa eliminar radicales de los denominadores. Se presenta como una forma de simplificar operaciones y ecuaciones. Al quitar los radicales y conseguir fracciones simplificadas, se logran operaciones más sencillas.

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Cuando usar la racionalizacion de denominadores

Podemos usar la racionalización de los denominadores cuando trabajamos con fracciones cuyas operaciones llevan radicales en el denominador de la misma. Al quitar radicales en el denominador nos permitirá operar con fracciones sencillas. Esto conlleva a un menor error en el proceso de operación.

¿Cómo se racionaliza el denominador?

Para racionalizar los denominadores, se deben seguir algunos pasos:

  • Sacar factores del denominador: primero debemos sacar los factores comunes del denominador para simplificar la expresión.
  • Multiplicar tanto numerador como denominador: a continuación multiplicamos tanto numerador como denominador con el contenido del radical de dicho denominador.
  • Simplificar la expresión resultante: tenemos una nueva fracción racionalizada donde se han eliminado radicales del denominador.

Ejemplos

  • Racionalizar el denominador de 2/√(5)
  • Solución: $$frac{2*sqrt{5}*2}{sqrt{5}*2*sqrt{5}} = frac{4*2}{2*5} = frac{8}{10}$$
  • Racionalizar el denominador de 4/√(3)·√(2)
  • Solución: $$frac{4*sqrt{6}}{sqrt{3}*sqrt{2}*sqrt{6}} = frac{4*sqrt{6}}{2*3*sqrt{6}} = frac{4*sqrt{2}}{6}$$

Conclusión

La racionalización de los denominadores simplifica fracciones y ecuaciones quitando radicales del denominador. Con el propósito de reducir errores en operaciones. Para lograr esto, es necesario seguir ciertos pasos donde sacar los factores del denominador junto con multiplicar tanto el numerador como denominador con el contenido del radical del mismo, para después simplificar la fracción.

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