Progresion geometrica ejercicios resueltos y comentados


Progresion Geometrica: Ejercicios Resueltos y Comentados

¿Qué es una Progresión Geométrica?

Una Progresión Geométrica (PG) es una serie numérica en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando o dividiendo el anterior por una constante. Por lo tanto, una PG es de la forma:

  • a1 , a2 = a1 * r , a3 = a2 * r,…..

Donde a1 es el término inicial y r es la razón que es una constante.

Ejemplos

A continuación se presentan un par de ejemplos para comprender mejor cómo funciona una PG.

  • Ejemplo 1: Calcule los primeros 5 términos de la PG definida por a1 = 2 y r = 4

  • Solución: Los términos calculados son 2, 8, 32, 128, 512

  • Ejemplo 2: Supongamos que queremos calcular el octavo término de la PG definida en el ejemplo anterior.

  • Solución: El octavo término a8 se calcula realizando a8 = a7 * r = 512 * 4 = 2048

Ejercicios Resueltos

A continuación se mostrará como resolver algunos de los problemas de Progresión Geométrica más frecuentes.

  • Ejercicio 1: Calcule los 10 primeros términos de la PG definida por a1 = 2 y r = -1/2

  • Solución: Los términos calculados son 2, -1, ½, -¼, 1/8, -1/16, 1/32, -1/64, 1/128, -1/256

  • Ejercicio 2: Supongamos que queremos calcular el undécimo término de la PG definida en el ejercicio anterior.

  • Solución: El undécimo término se calcula realizando a11 = a10 * r = -1/256 * -1/2 = 1/512

Comentarios Finales

Las Progresiones Geométricas son series numéricas usadas en diversas disciplinas y muchas veces la única manera de resolver problemas relacionados con estas series es conocer bien la forma en que se comportan y estructuran. Los ejercicios anteriores son algunos de los más básicos de esta materia y nos brindan una idea de la facilidad con que se pueden resolver problemas con esta técnica. Si te interesa profundizar en esta materia, hay muchos manuales y tutoriales disponibles que te ayudarán a entender y aplicar esta técnica.

Progresión Geométrica: Ejercicios Resueltos y Comentados

¿Qué es la Progresión Geométrica?

La Progresión Geométrica (o P.G.) es una secuencia finita o infinita de números en la cual cada término después del primero es el producto del anterior por una constante llamada razón, denotada por r. La forma matemática de una Progresión geométrica está dada por:

  • a1 , a2 , a3 ,…. , an

  • an = a1 × rn-1 (donde r es la razón)

Ejercicio 1:

Una P.G. comienza con el término 86, ´y la razón es 2. Calcular los siete primero términos de la secuencia.

Solución:

  1. a1 = 86

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  2. an = a1 × rn-1

  3. Por lo tanto a2 = 86 × 21 = 172

Continuando con los resultados anteriores, tenemos que:

  • a3 = 86 × 22 = 344

  • a4 = 86 × 23 = 688

  • a5 = 86 × 24 = 1376

  • a6 = 86 × 25 = 2752

  • a7 = 86 × 26 = 5504

Por tanto, los siete primeros términos de la secuencia son: 86, 172, 344, 688, 1376, 2752 y 5504.

Ejercicio 2:

Se sabe que los términos de una P.G. son 16, 48 y 144. Encuentra la razón.

Solución:

  • a1 = 16

  • a2 = 48

  • a3 = 144

  • an = a1 × rn-1

Por tanto, despejando la razón r:

  • r = a2 ÷ a1 = 48 ÷ 16 = 3

La razón de la Progresión geométrica es 3.

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