Un progresión geométrica (PG) representa una secuencia numérica donde la división entre dos números consecutivos siempre da como resultado un valor constante. Este valor se llama la relación PG.

Este es un contenido muy cargado en las competiciones y los exámenes de ingreso, e incluso puede aparecer asociado con otras asignaturas de Matemáticas.

Aproveche las resoluciones de ejercicio para responder todas sus preguntas de PG.

Ejercicios resueltos

1) UFRGS – 2018

Considere la función real f definida por f (x) = 2 – x . El valor de la expresión S = f (0) + f (1) + f (2) + … + f (100) es

a) S = 2 – 2-101 .
b) S = 250 + 2-50.
c) S = 2 + 2-101 .
d) S = 2 + 2-100 .
e) S = 2 – 2-100 .

Considerando la ley de formación de funciones, podemos calcular algunos valores de funciones. Así tenemos:

Observamos que estos valores forman un cociente PG igual a. Por lo tanto, para encontrar el valor de S podemos usar la fórmula de suma finita de un PG, es decir:

El número de términos de PG será igual a 101, porque queremos sumar los resultados de las funciones de x = 0 a x = 100. Sustituyendo los valores en la fórmula tenemos:

Alternativa: e) S = 2 – 2-100

2) PUC / RJ – 2017

Los términos de suma S = 4 + 8 + 16 + … + 2048 están en progresión geométrica.

Ingrese el valor de S.

a) 4092
b) 4100
c) 8192
d) 65536
e) 196883

Para encontrar el valor, aplicaremos la fórmula de suma finita de los términos de un PG, a saber:

Identificamos que1 = 4 y q = 2. Sin embargo, necesitamos encontrar el valor de n, es decir, cuántos términos componen este PG. Para esto, utilizaremos la fórmula del término general de PG:

elno = a1.qn – 1

Ahora que tenemos todos los valores necesarios, calculemos la suma:

Alternativa: a) 4092

3) PUC / SP – 2017

Considere la progresión aritmética (3, la2 el3 , …) creciente, de la relación r, y la progresión geométrica (b1 b2 b3 , 3, …) decreciente, de relación q, de modo que el3 = b3 yr = 3q. El valor de b2 es igual a

a) el6to
b) el7mo
c) el8vo
d) elNoveno

Apliquemos el término general fórmula de PG, para encontrar la expresión del tercer término, comenzando por el valor del cuarto término (b4 4 = 3):

Por la fórmula del término general de PA podemos encontrar la expresión de un3. Siendo el3 = a1+ (n – 1) r, entonces tenemos que3 = 3 + 2r. Considerando esta expresión y que3 = b3encontramos:

El enunciado de la pregunta indica que r = 3q. Reemplazando este valor en la expresión anterior, tenemos:

Podemos simplificar la ecuación del segundo grado dividiendo entre 2. Entonces, calculemos las raíces de la ecuación 2q2 + q – 1 = 0. Para esto usaremos la fórmula de Bhaskara:

Ignoraremos el valor de q = -1, porque cuando la relación es negativa, PG se alterna, lo que no es el caso.

Ahora que conocemos el valor de la relación PG, también podemos calcular el valor de la relación PA haciendo:

Con los valores de la razón, calculemos el valor de b2. Así tenemos:

Para encontrar el término PA, que es igual a b2, debemos hacer:

Entonces el término a7mo es igual al término b2.

Alternativa: b) a7mo

4) Fuvest – 2015

Dadas las secuencias ܽ definidas para valores enteros positivos de n, considere las siguientes afirmaciones:

I. ܽ ano Es una progresión geométrica.
II ܾ bno Es una progresión geométrica.
III. ܿ cno Es una progresión aritmética.
IV. ݀ dno Es una progresión geométrica.

Solo son ciertas

a) I, II y III.
b) I, II y IV.
c) I y III.
d) II y IV.
e) III y IV.

Siendo los valores de n enteros y positivos, podemos encontrar los primeros términos de cada secuencia y así verificar qué afirmaciones son verdaderas.

I. ano = n2 + 4n + 4 es una progresión geométrica.
el1 = 12 + 4.1 + 4 = 9
el2 = 22 + 4.2 + 4 = 16
el3 = 32 + 4.3 + 4 = 25
el4 4 = 42 + 4.4 +4 = 36

Como 16: 9 = 1.7 y 25:16 = 1.5 son valores diferentes, esta secuencia no es un PG. Por lo tanto, este artículo es falso.

II Es una progresión geométrica.

Siendo 16: 2 = 8 y 32:16 = 2 valores diferentes, esta secuencia tampoco es un PG. De esta manera, este artículo es falso.

III. cno = an + 1 – unno es una progresión aritmética

Tenga en cuenta que para encontrar los valores de esta secuencia, simplemente disminuya los términos consecutivos de la primera secuencia. Así tenemos:

c1 = 16 – 9 = 7
c2 = 25-16 = 9
c3 = 36-25 = 11

Como 9 – 7 = 2 y 11 – 9 = 2, tenemos una relación PA de 2. Por lo tanto, el enunciado es verdadero.

IV. es una progresión geométrica

Para encontrar el valor de esta secuencia, simplemente divida los valores consecutivos de la segunda secuencia. De esta forma:

Dividiendo 32 entre 8 y 126 entre 32 encontramos el mismo valor. Por lo tanto, esta secuencia es una PG de una relación de 8. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Alternativa: e) III y IV

5) Fuvest – 2008

Se sabe sobre la progresión geométrica para1 el2 el3 , … que a1 > 0 e. Además, la progresión geométrica a1 el5to elNoveno , … tiene razón en 9. En estas condiciones, el producto a ser2 el7mo vale la pena

Para resolver el problema, es importante tener en cuenta que tenemos la indicación de dos progresiones geométricas. Llamaremos a la razón de la primera PG de q1 y el segundo de q2.

Desde q2 = 9 y cómo1 es positivo y el6to es negativo, la razón q1 debería ser negativo Considerando estas dos progresiones, tenemos las siguientes relaciones:

el6to = a5to . que1
el5to = a1 . que2

Anular los valores e igualar los valores de un5to tenemos:

Podemos encontrar el valor de un2 haciendo:

Ahora que sabemos el valor de un2 podemos escribir a6to usando este valor para encontrar la relación q1:

Siendo q1 negativo, su valor será igual a:

Finalmente, encontremos el valor de un7mo haciendo:

Entonces el valor de un2 multiplicado por un7mo será igual a:

Alternativa: a) -27

6) Unicamp – 2016

Sea (a, b, c) una progresión geométrica de números reales con. Al establecer s = a + b + c, el valor más pequeño posible para s / a es igual a

a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5

Aplicando la definición de progresión geométrica tenemos b = a.q y c = a.q2donde q es igual a la razón de PG. Por lo tanto, la división s / a será igual a:

Poniendo el el En evidencia y simplificando la expresión, tenemos:

Tenga en cuenta que s / a es igual a una ecuación de segundo grado, y su gráfica es una parábola con la concavidad hacia arriba, porque el coeficiente de q2 es positivo (+1)

Por lo tanto, el valor mínimo de división ocurrirá en el vértice de la parábola. Por lo tanto, para encontrar este valor usaremos la fórmula vértice y, es decir:

Alternativa: c)

7) Unesp – 2012

El artículo "Una carretera, muchos bosques" informa parte del trabajo de reforestación requerido después de la construcción de la sección sur de la carretera de circunvalación de São Paulo. El agrónomo Maycon de Oliveira muestra uno de los árboles, un humo salvaje, que él y su equipo plantaron en noviembre de 2009. En ese momento, el árbol creció, tiene casi 2,5 metros de largo, ha florecido, fructificado y arrojado semillas que descendencia germinada y formada […] Cerca del árbol principal. El humo enojado […] Es una especie de árbol pionero de rápido crecimiento que da sombra a las especies de árboles de crecimiento lento pero de vida más larga.

(Encuesta FAPESP, enero de 2012. Adaptado).

Especies silvestres de árboles de humo – (w3.ufsm.br/herbarioflorestal)

Teniendo en cuenta que el árbol fue plantado el 1 de noviembre de 2009 con una altura de 1 dm y que el 31 de octubre de 2011 su altura era de 2.5 y todavía admito que su altura al final de cada año de plantación , en esta etapa de crecimiento, formar una progresión geométrica, la razón de este crecimiento durante el período de dos años fue

a) 0.5.
b) 5 × 10 -1/2 .
c) 5.
d) 5 × 10 1/2.
e) 50.

Primero, debemos transformarnos en la misma unidad de medida. Para esto pasaremos 1 dm al metro. Entonces, cuando era planta, su altura era igual a 0.1 m.

Como el valor de las alturas forma una progresión geométrica, podemos escribir que el1 = 0.1, el2 = 0.1. cual es el3 = 0.1. que2.

Sin embargo, sabemos que al final del período la altura del árbol era de 2.5 m, sustituyendo este valor encontramos:

Siendo la progresión en aumento, entonces q = 5.

Alternativa: c) 5

8) UERJ – 2014

En un recipiente con forma de paralelepípedo rectangular de 40 cm de largo, 25 cm de ancho y 20 cm de alto, se depositaron pequeñas esferas en etapas, cada una con un volumen de 0,5 cm3. En la primera etapa, se depositó una esfera; en el segundo, dos; en los terceros cuatro; y así sucesivamente, duplicando el número de esferas en cada paso.
Admita que cuando el contenedor está lleno, el espacio vacío entre las esferas es insignificante.
Considerando 210 = 1000, el número más pequeño de pasos necesarios para que el volumen total de esferas sea mayor que el volumen del contenedor es:

a) 15
b) 16
c) 17
d) 18

Primero, calculemos el volumen del adoquín. Para esto, simplemente multiplique las dimensiones dadas, es decir:

VP = 40. 25 20 = 20,000 cm3

Con el número de esferas depositadas en cada paso del pliegue, tenemos el PG (1, 2, 4, 8, …, elno), con la relación de este PG igual a dos yn el número de pasos.

La suma de este PG será igual al número total de esferas depositadas. Para realizar este cálculo, utilizaremos la fórmula de suma de un PG finito. Considerando q = 2, tenemos:

Para encontrar el volumen total de las esferas, simplemente multiplique el valor encontrado por 0.5 cm3, que es el volumen de una esfera.

Como queremos saber cuántos pasos son necesarios para hacer que este volumen sea más grande que el volumen de adoquines, escribiremos la siguiente desigualdad:

0.5. (2no – 1)> 20 000
2no – 1> 40 000
2no > 40 001

Si 2no > 40 001, por lo que también será mayor que 40 000. Para que podamos escribir y resolver la desigualdad:

2no > 40 000
2no> 40. 1000
2no> 40. 210

Como no podemos escribir 40 en la base 2, reemplácelo con 32, que es la potencia de la base 2 más cercana.

2no > 32. 210
2no > 25to.210
2no > 2 5 + 10

Como las bases son iguales, la desigualdad se puede escribir como:

n> 15

Luego tenemos que el número más pequeño de pasos debe ser igual a 16, que es el primer entero mayor que 15.

Alternativa: b) 16

9) UERJ – 2012

Una consecuencia del accidente nuclear en Japón en marzo de 2011 fue la fuga de isótopos radiactivos que pueden aumentar la incidencia de ciertos tumores glandulares. Para minimizar esta probabilidad, se prescribieron tabletas de yoduro de potasio a la población más afectada por la radiación.

La vida media es el parámetro que indica el tiempo requerido para que la masa de una cierta cantidad de radioisótopos se reduzca a la mitad.
Considere una muestra de 53Yo133, producido en el accidente nuclear, con una masa de 2 gy una vida media de 20 h.
Después de 100 horas, la masa de esta muestra, en miligramos, será aproximadamente:

a) 62.5
b) 125
c) 250
d) 500

Según la información en cuestión, cada 20 h la masa del radioisótopo se reduce a la mitad. Por lo tanto, la reducción de masa ocurrirá después de una PG de relación igual y1= 2 g (masa inicial cuando t = 0).

La masa del radioisótopo después de 100 h será igual al sexto término (el6to) de este PG, ya que tenemos 5 intervalos de 20 h hasta alcanzar las 100 h.

Aplicando la fórmula del término general, tenemos:

Alternativa: a) 62,5