Un Progresión aritmética (P.A.) Es una secuencia de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Esta diferencia constante se llama relación P.A.

Por lo tanto, a partir del segundo elemento de la secuencia, los números que aparecen son el resultado de sumar la constante con el valor del elemento anterior.

Esto es lo que lo diferencia de la progresión geométrica (P.G.), porque en números los números se multiplican por la razón, mientras que en la progresión aritmética se suman.

Las progresiones aritméticas pueden tener un número dado de términos (P.A. finita) o un número infinito de términos (P.A. infinita).

Para indicar que una secuencia continúa indefinidamente, usamos elipses, por ejemplo:

  • la secuencia (4, 7, 10, 13, 16, …) es un P.A. infinito
  • la secuencia (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) es un P.A.

Cada término de un P.A.se identifica por su posición en la secuencia y para representar cada término usamos una letra (generalmente la letra el) seguido de un número que indica su posición en la secuencia.

Por ejemplo, el término el4 4 en P.A (2, 4, 6, 8, 10) es el número 8, ya que es el número que ocupa la cuarta posición en la secuencia.

Clasificación de un P.A.

Según el valor de la razón, las progresiones aritméticas se clasifican en:

  • Constante: cuando la razón es igual a cero. Por ejemplo: (4, 4, 4, 4, 4 …), donde r = 0.
  • Creciendo: cuando la relación es mayor que cero. Por ejemplo: (2, 4, 6, 8,10 …), donde r = 2.
  • Descendente: cuando la relación es menor que cero (15, 10, 5, 0, – 5, …), donde r = – 5

Propiedades de P.A.

1ra propiedad:

En un P.A. finito, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.

Ejemplo

2da propiedad:

Considerando tres términos consecutivos de un P.A., el término medio será igual a la media aritmética de los otros dos términos.

Ejemplo

Tercera propiedad:

En un P.A. finito con un número impar de términos, el término central será igual a la media aritmética del primer término con el último término.

Fórmula a plazo general

Dado que la relación de un P.A. es constante, podemos calcular su valor a partir de cualquier término consecutivo, es decir:

Por lo tanto, podemos encontrar el valor del segundo término de la P.A.

Para encontrar el tercer término usaremos el mismo cálculo:

Anular el valor de un2, que encontramos anteriormente, tenemos:

Si seguimos el mismo razonamiento, podemos encontrar:

Al observar los resultados, notamos que cada término será igual a la suma del primer término y la razón multiplicada por la posición anterior.

Este cálculo se expresa a través de la fórmula del término general de P.A., que nos permite conocer cualquier elemento de una progresión aritmética. Así tenemos:

Donde

elno : plazo que queremos calcular
el1: primer término de P.A.
no: posición del término que queremos averiguar
r: razón

Ejemplo

Calcule el décimo término de la P.A .: (26, 31, 36, 41, …)

Solución

Primero, debemos identificar que el1 = 26, r = 31 – 26 = 5 yn = 10 (décimo término). Reemplazando estos valores en el término general fórmula tenemos:

elno = a1 + (n – 1). r
el10 = 26 + (10-1). 5to
el10 = 26 + 9.5
el10 = 71

Por lo tanto, el décimo término de la progresión aritmética indicada es igual a 71.

Suma de términos de un P.A.

Para encontrar la suma de los términos de un P.A finito, solo use la fórmula:

Donde

Sno: suma de n primeros términos de P.A.
el1: primer término de P.A.
elno: ocupa la enésima posición en la secuencia
no: posición del término

Ejercicio resuelto

1) PUC / RJ – 2018

Sabiendo que los números de secuencia (y, 7, z, 15) están en progresión aritmética, ¿cuánto vale la suma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Para encontrar el valor de z, podemos usar la propiedad que dice que cuando tenemos tres términos consecutivos, el término medio será igual a la media aritmética de los otros dos. Así tenemos:

Si z es igual a 11, entonces la relación será igual a:

r = 11 – 7 = 4

Por lo tanto, y será igual a:

y = 7 – 4 = 3

Por lo tanto:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

2) NIIF – 2017

En la figura a continuación tenemos una secuencia de rectángulos, todos de altura a. La base del primer rectángulo es b y los rectángulos posteriores son el valor de la base de la unidad de medida más una anterior. Por lo tanto, la base del segundo rectángulo es b + 1 y el tercero b + 2 y así sucesivamente.

Considere las siguientes declaraciones.

I – La secuencia de las áreas rectangulares es una progresión aritmética de relación 1.
II – La secuencia de las áreas rectangulares es una progresión aritmética de la relación a.
III – La secuencia de las áreas rectangulares es una progresión geométrica de la relación a.
IV – El área del enésimo rectángulo (Ano) se puede obtener mediante la fórmula Ano = a. (b + n – 1).

Marque la alternativa que contiene las declaraciones correctas.

a) I.
b) II.
c) III.
d) II y IV.
e) III y IV.

Calculando el área de los rectángulos, tenemos:

A = a. b
Un1 = a. (b + 1) = a. b + a
Un2 = a. (b + 2) = a. b. + 2a
Un3 = a. (b + 3) = a. b + 3a

De las expresiones encontradas, notamos que la secuencia forma un P.A. de proporción igual a a. Continuando con la secuencia, encontraremos el área del enésimo rectángulo, que viene dada por:

Unno= a. b + (n – 1) .a
Unno = a. b + a. n – a

Poniendo el el en evidencia, tenemos:

Unno = a (b + n – 1)

Alternativa: d) II y IV.

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