El poliedros son sólidos geométricos delimitados por un número finito de polígonos planos. Estos polígonos forman las caras del poliedro.

La intersección de dos caras se llama borde y el punto común de tres o más bordes se llama vértice como se muestra en la imagen a continuación.

Poliedro convexo y no convexo

Los poliedros pueden ser convexos o no convexos. Si algún segmento de línea que conecta dos puntos de un poliedro está completamente contenido dentro de él, entonces será convexo.

Otra forma de identificar un poliedro convexo es verificar que cualquier línea no contenida o paralela a cualquiera de las caras corte los planos de las caras en la mayoría de los dos puntos.

Teorema de Euler

El Teorema o relación de Euler Es válido para poliedros convexos y para algunos poliedros no convexos. Este teorema establece la siguiente relación entre el número de caras, vértices y bordes:

F + V = 2 + A o V – A + F = 2

Donde

F: número de caras
V: número de vértices
Un: número de aristas

Los poliedros en los que la relación de Euler es válida se llaman eulerianos. Es importante tener en cuenta que cada poliedro convexo es euleriano, pero no todos los poliedros eulerianos son convexos.

Ejemplo

Un poliedro convexo está formado por exactamente 4 triángulos y 1 cuadrado. ¿Cuántos vértices tiene este poliedro?

Solución

Primero necesitamos definir la cantidad de caras y aristas. Como el poliedro tiene 4 triángulos y 1 cuadrado, tiene 5 caras.

Para encontrar el número de borde, podemos calcular el número total de lados y dividir el resultado entre dos, ya que cada borde es la intersección de dos lados:

Ahora que sabemos el número de caras y aristas, podemos aplicar la relación de Euler, por lo que tenemos:

Por lo tanto, este poliedro tiene 5 vértices.

Poliedros regulares

Los poliedros convexos son regulares cuando sus caras están compuestas de polígonos regulares y congruentes. Además, el número de borde que compite en cada vértice es el mismo.

Debemos recordar que los polígonos regulares son aquellos que tienen todos los lados y ángulos congruentes, es decir, en la misma medida.

Solo hay cinco poliedros convexos regulares, que también se denominan "Sólidos platónicos"O"Poliedros de Platón" Ellos son: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.

  • Tetraedro: Sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 caras triangulares y 6 aristas.
  • Hexaedro: Sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 caras cuadradas y 12 aristas.
  • Octaedro: Sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 caras triangulares y 12 aristas.
  • Dodecaedro: Sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 caras pentagonales y 30 aristas.
  • Icosaedro: Sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 caras triangulares y 30 aristas.

Prismas

Los prismas son sólidos geométricos que tienen dos bases formadas por polígonos congruentes y ubicadas en planos paralelos. Sus caras laterales son paralelogramos o rectángulos.

De acuerdo con la inclinación de los bordes laterales en relación con la base, los prismas se clasifican como rectos u oblicuos.

Las caras laterales de los prismas rectos son rectángulos, mientras que los prismas oblicuos son paralelogramos, como se muestra a continuación:

Pirámide

Las pirámides son sólidos geométricos formados por una base poligonal y un vértice (vértice piramidal) que une todas las caras laterales triangulares.

El número de lados del polígono base corresponde al número de caras laterales de la pirámide.

Aprenda más sobre el tema:

Curiosidad

Al estudiar los poliedros regulares, el filósofo y matemático griego Platón relacionó cada uno con los elementos de la naturaleza: tetraedro (fuego), hexaedro (tierra), octaedro (aire), dodecaedro (universo) e icosaedro (agua).

Ejercicios resueltos

1) Enem – 2018

Minecraft es un juego virtual que puede ayudar en el desarrollo del conocimiento relacionado con el espacio y la forma. Puede crear casas, edificios, monumentos e incluso naves espaciales, todo a gran escala, apilando cubos.

Un jugador quiere construir un cubo con dimensiones de 4 x 4 x 4. Ya ha apilado algunos de los cubos necesarios como se muestra.

Los cubos restantes que se apilan para completar la construcción del cubo juntos forman una sola pieza, capaz de completar la tarea.

La forma de la pieza capaz de completar el cubo de 4 x 4 x 4 es

Para saber qué imagen encaja perfectamente para formar el cubo de 4 x 4 x 4, necesitamos contar cuántos cuadrados quedan.

Tenga en cuenta que las dos capas inferiores están completas, por lo que solo agregaremos más cubos a las dos últimas capas.

En la imagen a continuación, marcamos en azul los cubos que se necesitan para completar el cubo.

Al observar los cubos marcados en azul, vemos que la pieza única que completa el cubo es la misma que la primera alternativa.

Alternativa: a)

2) Enem – 2017

Una cadena de hoteles tiene cabañas simples en la isla de Gotland, Suecia, como se muestra en la Figura 1. La estructura de soporte de cada una de estas cabañas se muestra en la Figura 2. La idea es permitir al huésped una estadía sin tecnología, pero conectada al La naturaleza

La forma geométrica de la superficie cuyos bordes se muestran en la Figura 2 es

a) tetraedro.
b) pirámide rectangular.
c) tronco piramidal rectangular.
d) prisma cuadrangular recto.
e) prisma triangular recto.