Mosaicos y universo matemático: arte, simetría y geometría

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Los mosaicos nos rodean mucho más de lo que parece: en suelos, paredes, portadas históricas e incluso en gráficos por ordenador. Pero, tras esa apariencia decorativa y casi cotidiana, se esconde un universo matemático sorprendentemente profundo que conecta el arte islámico, la física moderna, la geometría hiperbólica y hasta la forma en que concebimos el infinito.

Cuando observamos un zócalo nazarí en la Alhambra, una teselación de M. C. Escher o un patrón hiperbólico que se curva hacia el “borde” del disco, lo que estamos viendo no es solo belleza. Estamos contemplando soluciones visuales a problemas geométricos y analíticos muy complejos, ideadas a veces por artesanos sin formación académica, y otras por matemáticos que usan la simetría como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales, modelar fenómenos físicos o diseñar nuevos espacios arquitectónicos y digitales.

Mosaicos, simetría y el salto al análisis matemático

En matemáticas, un mosaico o teselación consiste en cubrir una superficie completamente con piezas que encajan sin dejar huecos ni solaparse. Esta idea, tan sencilla en apariencia, se ha convertido en un poderoso lenguaje para comprender patrones de simetría, clasificar grupos cristalográficos y, más recientemente, resolver problemas en análisis complejo y física matemática. (Ver cómo hacer un hexágono con compás.)

Un trabajo de Heinrich Begehr y Dajiang Wang, publicado en la revista Applicable Analysis, lleva esta conexión un paso más allá. En él se desarrolla el llamado principio de reflexión tipo mosaico, una técnica que aprovecha simetrías geométricas para extender funciones complejas más allá de un dominio inicial, generando nuevas regiones mediante “reflejos” sucesivos como si el plano fuese una sala de espejos infinita.

La idea es aprovechar teselaciones muy simétricas para construir soluciones explícitas a problemas de frontera clásicos, como los de Dirichlet o Neumann, que aparecen en ecuaciones diferenciales parciales ligadas al calor, la electrostática, la vibración de membranas o la propagación de ondas. En lugar de recurrir únicamente a métodos numéricos, los autores demuestran que la estructura de mosaico puede funcionar como un andamio matemático que guía la extensión de las soluciones.

Este proceso se implementa en dominios muy concretos: los polígonos circulares, cuyas “caras” no son segmentos rectos, sino arcos de circunferencia (véase dividir un círculo en 12 partes). Al ir reflejando la función respecto a cada uno de esos arcos, el dominio se va replicando una y otra vez por el plano, generando un patrón de tipo mosaico donde las propiedades de la solución en la región inicial se heredan por simetría en las imágenes reflejadas.

Desde esta perspectiva, la frase que citan Begehr y Wang cobra pleno sentido: “La belleza en las matemáticas no es solo una noción estética, sino algo con profundidad estructural y eficiencia”. El mosaico deja de ser solo un motivo visual para convertirse en una auténtica herramienta de cálculo.

Funciones núcleo: Green, Neumann y Schwarz en clave de teselación

Uno de los grandes logros de este enfoque es que permite construir fórmulas explícitas para funciones núcleo fundamentales en análisis y física matemática. Hablamos de los núcleos de Green, de Neumann y de Schwarz, que sirven como “ladrillos” para ensamblar soluciones de problemas de frontera mediante representaciones integrales.

Estas funciones núcleo permiten expresar la solución de una ecuación (por ejemplo, la ecuación de Laplace o de Poisson) como integrales sobre la frontera del dominio. En dominios con geometrías complicadas, obtener expresiones exactas de esos núcleos suele ser casi imposible, y hay que conformarse con aproximaciones numéricas.

Sin embargo, al emplear el principio de reflexión tipo mosaico sobre polígonos circulares, Begehr y Wang muestran que es viable derivar fórmulas exactas para dichos núcleos en dominios que, a priori, serían intratables. Las reflexiones sucesivas crean copias del dominio y de la función, y mediante combinaciones adecuadas se construyen núcleos que satisfacen las condiciones de frontera deseadas.

Lo más interesante es que este método no se queda encerrado en el plano euclidiano de toda la vida. Los autores extienden su enfoque a la geometría hiperbólica, un espacio de curvatura negativa donde las rectas y los triángulos se comportan de manera muy diferente a lo que estamos acostumbrados. En ese entorno aparecen figuras clave, como los triángulos de Schweikart, que permiten generar mosaicos completos en el disco hiperbólico y aplicar el mismo principio de reflexión.

En otro trabajo, publicado en la revista Complex Variables and Elliptic Equations, Begehr construye la función de Green armónica en un triángulo de Schweikart explitando ese juego de reflejos. Es una demostración contundente de que la simetría geométrica no es solo una cuestión estética: también es una vía directa para obtener soluciones cerradas de problemas en contextos tan sofisticados como la gravedad cuántica o la óptica no lineal.

Geometría hiperbólica y triángulos de Schweikart: el mosaico que dobla la intuición

En geometría euclidiana estamos acostumbrados a que la suma de los ángulos de un triángulo sea 180 grados. En la geometría hiperbólica esto deja de cumplirse, y de hecho aparecen figuras tan chocantes como los triángulos de Schweikart, que tienen un ángulo recto y dos ángulos de valor cero.

Estos triángulos solo pueden existir en un espacio hiperbólico y, pese a sonar “degenerados”, son tremendamente útiles. Con ellos se puede teselar por completo el disco hiperbólico, es decir, cubrirlo sin huecos ni solapamientos, generando patrones de gran simetría que recuerdan a ciertas obras de Escher donde figuras se amontonan hacia el borde de un círculo.

Este tipo de teselación es perfecto para aplicar el principio de reflexión comentado antes: cada lado del triángulo hace las veces de “espejo”, y las reflexiones sucesivas recrean el dominio una y otra vez. La simetría resultante permite construir funciones armónicas con propiedades muy controladas, lo que las hace extremadamente valiosas en modelos teóricos donde la curvatura del espacio juega un papel esencial.

Más allá de su relevancia científica, los triángulos de Schweikart y los mosaicos hiperbólicos tienen un enorme potencial visual. Generan patrones sugerentes que desafían nuestra intuición euclidiana, y no es casualidad que investigadores como Wang señalen que sus resultados podrían inspirar nuevas ideas en arquitectura o gráficos por ordenador, donde los espacios curvos y las geometrías “imposibles” son un campo de juego muy fértil.

De alguna manera, la geometría hiperbólica retoma esa vieja conexión entre arte y ciencia: lo que comenzó como un problema abstracto sobre espacios con curvatura negativa termina convertido en motivos ornamentales de una potencia visual enorme, listos para ser explotados por diseñadores, artistas digitales y arquitectos que buscan romper con la geometría habitual.

“Mosaicos espejo de Berlín”: una tradición de reflexión infinita

El grupo de investigación de Heinrich Begehr en la Freie Universität Berlin lleva cerca de dos décadas desarrollando lo que han bautizado como “mosaicos espejo de Berlín”. Su punto de partida es el principio de reflexión unificado de Hermann Amandus Schwarz, un clásico de la teoría de funciones de variable compleja.

La idea, llevada al lenguaje de los mosaicos, consiste en tomar un polígono circular y reflejarlo repetidamente respecto a sus lados (que son arcos de circunferencia), llenando así todo el plano con copias del dominio original. Esta coreografía de reflejos genera patrones extremadamente regulares, en los que cada pieza recuerda a las demás, y a la vez abre la puerta a representar funciones complejas de forma muy concreta.

Aunque suene propio de la era digital, el germen de esta técnica es sorprendentemente antiguo. Los propios autores recuerdan cómo antaño los matemáticos jugaban con espejos de tocador de tres caras para producir secuencias aparentemente infinitas de imágenes. Hoy, esa intuición visual se ha trasladado a programas informáticos capaces de generar mosaicos espejo con gran precisión, lo que permite además extraer fórmulas exactas y no solo dibujos bonitos.

Esta línea de trabajo ha dado lugar a tesis doctorales y colaboraciones internacionales, articulando una pequeña comunidad de especialistas que exploran la frontera entre visualización geométrica y análisis riguroso. Es un buen ejemplo de cómo una idea geométrica con fuerte componente gráfico puede generar avances profundos en teoría de funciones, ecuaciones diferenciales y física matemática.

En paralelo, el atractivo visual de estos mosaicos espejo los convierte en un material didáctico de primera categoría: ayudan a que conceptos muy abstractos se vuelvan mucho más intuitivos para estudiantes y público general, acercando el análisis complejo a través de imágenes que se pueden rotar, ampliar y explorar como si fueran auténticos laberintos de simetría.

Arte nazarí, Alhambra y los 17 grupos cristalográficos planos

Si salimos del plano teórico y nos vamos a la historia del arte, es imposible obviar la conexión entre mosaicos y matemáticas en el arte hispanomusulmán, especialmente en la Alhambra de Granada. Allí, las teselaciones no son un detalle menor, sino un auténtico principio rector del diseño arquitectónico y ornamental.

Dentro del repertorio ornamental nazarí destacan tres grandes familias: la epigrafía (inscripciones), la decoración vegetal y la geometría. Los alicatados, realizados con pequeñas piezas de cerámica vidriada de diversos colores y formas, llevaron la geometría a un nivel de refinamiento excepcional, combinando función decorativa y protección de paramentos.

En estos alicatados encontramos composiciones simples, basadas en la repetición de una o dos figuras, y composiciones complejas, en las que múltiples motivos se desplazan y rotan generando nuevas figuras a un nivel superior. Todo ello se apoya en transformaciones isométricas del plano: traslaciones, rotaciones, simetrías y simetrías deslizantes, aplicadas una y otra vez para cubrir grandes superficies.

Matemáticamente, estas decoraciones responden a lo que hoy llamamos grupos cristalográficos planos. Solo existen 17 tipos posibles de simetría periódica en el plano, y los artesanos nazaríes, sin teoría formal de grupos, fueron capaces de representarlos todos en la Alhambra. Este monumento es, de hecho, el único edificio antiguo en el que están presentes los 17 grupos, clasificados según los giros máximos que contienen: sin giros, con giros de 180°, de 120°, de 90° y de 60°.

Entre los mosaicos de la Alhambra y del Museo de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada grupo, lo que convierte el monumento en un laboratorio vivo para explorar la relación entre arte y simetría. No son pocos los matemáticos y divulgadores que proponen al visitante el reto de identificar qué grupo de simetría corresponde a cada panel, friso o zócalo.

Motivos geométricos, “pajaritas” y ritmo infinito

Los entramados geométricos nazaríes se basan, en esencia, en tres ingredientes: un motivo poligonal base, las isometrías del plano que lo mueven sin deformarlo y el crecimiento lineal potencialmente infinito de la composición. Las piezas poligonales sencillas (cuadrados, triángulos, hexágonos) abundan en los alicatados porque facilitan la construcción y el ajuste en obra.

Sin embargo, los maestros artesanos fueron más allá y diseñaron motivos no poligonales que encajan como si fuesen teselas perfectas: una de las figuras más populares es la llamada “pajarita” o trisquel, que se obtiene a partir de transformaciones de un triángulo equilátero. Este tipo de motivos exige una destreza geométrica notable y da lugar a patrones fluidos, casi orgánicos, que se ensamblan sin dejar huecos.

Desde el punto de vista religioso y simbólico, el mosaico en la cultura islámica cumple también una función profunda. El Islam prohíbe la representación figurativa de Alá, del profeta Mahoma y de figuras humanas o animales en contextos sagrados. Esto impulsa a recurrir a patrones geométricos y caligráficos como vía principal de expresión. Un mosaico que se repite sin fin se interpreta como metáfora visual de un único dios que “lo cubre todo” y está presente en todas partes.

En términos más “terrenales”, los mosaicos tienen además un paralelismo claro con la música, la poesía o los mantras: hay un motivo mínimo, un ritmo de repetición, variaciones por simetría, inversiones, giros… Esa estructura rítmica, que el cerebro reconoce y agradece, explica en parte la sensación de armonía y descanso visual que muchos visitantes sienten sin saber verbalizar por qué.

Rectángulo raíz de 2, frisos y orientación hacia la Meca

La matemática en la Alhambra no vive solo en los mosaicos de pared o suelo. También se esconde en proporciones arquitectónicas y decisiones de orientación que, con las herramientas actuales, podemos analizar con mucha precisión. Un ejemplo llamativo es el uso del rectángulo de proporción raíz de 2 (√2), muy común en el arte islámico.

El número √2 es irracional (1,41421356…), pero geométricamente es muy manejable. A partir de un cuadrado, se traza la diagonal y se “abate” sobre uno de sus lados para generar este rectángulo, que tiene una propiedad fantástica: al dividirlo por la mitad en el lado mayor, los rectángulos resultantes conservan la misma proporción. Es exactamente la lógica de los formatos DIN (A4, A3, A2…), en los que un A4 plegado genera dos A5, y así sucesivamente.

En la Alhambra, puertas como la Puerta del Vino responden a esta proporción raíz de 2, lo que ayuda a crear la sensación de equilibrio visual que percibimos casi sin darnos cuenta. El uso sistemático de esta proporción en portones y ventanas refuerza la coherencia geométrica del conjunto palatino.

Otra familia de motivos matemáticos presentes en la Alhambra son los frisos. A diferencia de los mosaicos que rellenan el plano en todas direcciones, el friso se repite fundamentalmente a lo largo de una línea, y puede clasificarse en siete tipos distintos según sus simetrías (traslaciones, reflexiones, giros, simetrías deslizantes…). Como ocurre con los 17 grupos cristalográficos, los siete tipos de friso también aparecen en la Alhambra, lo que la convierte en un catálogo excepcional de patrones periódicos unidimensionales.

Incluso la orientación de determinados espacios sagrados fue afinada con herramientas matemáticas y astronómicas. El oratorio del Mexuar, por ejemplo, presenta un azimut de en torno a 108-109 grados SE, frente a los aproximadamente 100,4 grados SE que marcan la dirección precisa hacia la Meca desde Granada. Esa desviación es muy pequeña si la comparamos con la de la Mezquita de Córdoba original, orientada con un error de más de 50 grados.

El oratorio privado del sultán en el Palacio de Comares se lleva la palma: su orientación, cercana a los 101 grados, es de las más precisas de todo Al-Ándalus, lo que indica que se emplearon métodos astronómicos y trigonométricos de alto nivel. Detrás de lo que parece “simplemente” un oratorio bonito se esconde, de nuevo, un cálculo cuidadoso.

Del taller nazarí al diseño contemporáneo: barro, fuego y renders

La huella de los mosaicos nazaríes no se queda anclada en el pasado. Muchos proyectos contemporáneos de pavimentos y revestimientos de barro cocido beben directamente de ese legado, reinterpretándolo en clave actual. La clave está en entender el mosaico histórico como un organismo vivo que puede seguir evolucionando, no como una pieza de museo intocable.

En algunos talleres de barro se han replicado gran parte de las diecisiete figuras geométricas básicas presentes en la Alhambra: el hueso, el pétalo, el avión, el huso, la pajarita… junto a formas más sencillas como rombos y cuadrados. A partir de ellas se proponen nuevos teselados, jugando con tamaños, combinaciones de colores y texturas.

El proceso mantiene, en muchos casos, la esencia tradicional: barro, agua y fuego como materias primas, modelado manual por artesanos, secado al aire y cocción en hornos de tipo árabe alimentados con biocombustible vegetal, por ejemplo restos de poda. Esa mezcla de técnica ancestral y preocupación actual por la sostenibilidad da lugar a piezas con mucha personalidad.

Al mismo tiempo, la fase de diseño se ha modernizado de forma radical. Gracias a los renders y programas de diseño digital, es posible experimentar rápidamente con nuevas configuraciones de mosaico, probar paletas de color diferentes o simular cómo quedaría un determinado patrón en un espacio arquitectónico concreto antes de fabricarlo.

De esta manera, la tradición nazarí y la tecnología contemporánea se dan la mano para crear suelos y revestimientos que respetan la lógica matemática histórica pero ofrecen soluciones plenamente actuales en interiorismo y arquitectura. Quien entra en un espacio diseñado con estos materiales quizás solo vea un suelo bonito, pero bajo sus pies hay siglos de geometría, simetría y reflexión.

Al final, tanto en los mosaicos hiperbólicos que ayudan a resolver ecuaciones como en los alicatados de barro cocido inspirados en la Alhambra, late la misma idea: usar la belleza y la regularidad geométrica como brújula para entender y transformar el mundo, fundiendo arte, matemáticas y técnica en un único lenguaje visual y conceptual.