Matriz transpuesta definicion propiedades y ejercicios


Matriz transpuesta: definición, propiedades y ejercicios

Una matriz transpuesta es una matriz convertida a partir de otra para cambiar el orden de los elementos dentro de ella. Si la matriz original está formada por n filas y m columnas, la matriz transpuesta tendrá m filas y n columnas.

Propiedades de una matriz transpuesta

  • Si se multiplica una matriz A por su transpuesta (AT), el resultado es una matriz simétrica.
  • Si se multiplica una matriz A por su matriz contratranspuesta (A*) el resultado es una matriz antisimétrica.
  • Las matrices transpuestas de matrices simétricas son también simétricas.

Ejercicios de matrices transpuestas

A continuación se presentan algunos ejemplos para practicar el uso de matrices transpuestas:

  • Calcular la transpuesta de la siguiente matriz:

    A =

    1 -2 3

    4 5 -6

    Solución: La transpuesta de la matriz A es AT =

    1 4

    -2 5

    3 -6

  • Determina si la matriz A es simétrica conociendo su transpuesta:

    A =

    1 2 -3

    4 5 6

    AT =

    1 4

    2 5

    -3 6

    Solución: La matriz A no es simétrica porque A ≠ AT.

Definición de Matriz Transpuesta

Una matriz transpuesta es aquella matriz en la cual los elementos son transformados cambiando sus posiciones, de forma que las filas de la matriz original pasan a ser columnas en la matriz transpuesta, y viceversa.

Propiedades de la Matriz Transpuesta

  • La matriz transpuesta de una matriz cuadrada es igual a la matriz original, pero con sus filas convertidas en columnas y viceversa.
  • El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.
  • (A^t)^t = A, que significa que la transpuesta de la transpuesta es igual a la matriz original.

Ejercicios de Matriz Transpuesta

  • Calcular la matriz transpuesta de la matriz A =[[1,2,3],[4,5,6][7,8,9]]:

    La matriz transpuesta de A es At = [[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]

  • Encuentra el determinante de la matriz transpuesta de la matriz B = [[5,2,1],[0,3,1],[1,0,3]]:

    El determinante de Bt es igual al determinante de B, es decir -8.

Matriz transpuesta: Definición, propiedades y ejercicios

La matriz transpuesta de una matriz es una matriz obtenida al intercambiar entre sí sus columnas y filas. Esta operación se denomina transposición y se representa con el símbolo t.

Definición

Una matriz transpuesta es aquella donde el elemento (i, j) de la matriz original, se convierte en el elemento de su matriz transpuesta (j, i).

Propiedades

  • (A · B)t = Bt · At: esto es, la transposición de un producto de matrices es igual al producto de la transposición de cada una de las matrices.
  • (AB)t ≠ AtBt: los productos no son conmutativos, por lo que el producto de la transposición de cada una de las matrices no es igual a la transposición del producto.

Ejercicios

  • Calcula la transposición de la matriz A =

    1 4 0
    2 3 1
    -2 3 -1

  • Solución: La transposición se denota tA y se calcula como tA =

    1 2 -2
    4 3 3
    0 1 -1

  • Calcula el producto entre la matriz A =

    4 6 5
    1 2 0
    -3 1 7

    y su matriz transpuesta At.

  • Solución: Utilizamos la propiedad indicada anteriormente: (A · At)t = (At)t · (A)t. El producto de A por At sería:

    56 22 -34
    22 8 -14
    -34 -14 18

    y el producto de su transposición quedaría:

    56 22 -34
    22 8 -14
    -34 -14 18

Para la realización de los ejercicios anteriores hemos visto lo que significa la matriz transpuesta, sus propiedades, y la forma de calcularla.

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