La transposición de una matriz A es una matriz que tiene los mismos elementos que A, pero que se coloca en una posición diferente. Se obtiene transportando cuidadosamente los elementos de las filas desde A a las columnas de transposición.

Entonces dada una matriz A = (aij)m x n la transposición de A es At = (a ’ji) n x m.

Ser

i: posición de línea
j: posición de la columna
elij: un elemento de matriz en la posición ij
m: número de filas en la matriz
n: número de columnas de matriz
Unt: matriz transpuesta de A

Tenga en cuenta que la matriz A es de orden m x n, mientras que su transposición At es de orden n x m.

Ejemplo

Encuentre la matriz transpuesta de la matriz B.

Como la matriz dada es del tipo 3×2 (3 filas y 2 columnas), su transposición será del tipo 2×3 (2 filas y 3 columnas).
Para construir la matriz transpuesta, debemos escribir todas las columnas de B como filas de Bt. Como se indica en el siguiente esquema:

Por lo tanto, la matriz transpuesta de B será:

vea también: Matrices

Propiedades de matriz transpuesta

  • (At)t = A: esta propiedad indica que la transposición de una matriz transpuesta es la matriz original.
  • (A + B)t = At + Bt: la transposición de la suma de dos matrices es igual a la suma de la transposición de cada una de ellas.
  • (A. B)t = Bt . Unt: la transposición de la multiplicación de dos matrices es igual al producto de la transposición de cada una de ellas, en orden inverso.
  • det (M) = det (Mt): El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

Matriz simétrica

Una matriz se llama simétrica cuando, para cualquier elemento de la matriz A, la igualdad paraij = aji Es verdad

Las matrices de este tipo son matrices cuadradas, es decir, el número de filas es igual al número de columnas.

Cada matriz simétrica cumple la siguiente relación:

A = At

Matriz opuesta

Importante no confundir la matriz opuesta con la transpuesta. La matriz opuesta es aquella que contiene los mismos elementos en filas y columnas, pero con signos diferentes. Por lo tanto, lo opuesto a B es –B.

Matriz inversa

La matriz inversa (indicado por el número –1) es donde el producto de dos matrices es igual a una matriz de identidad cuadrada (I) del mismo orden.

Ejemplo:

A. B = B. A = Ino (cuando la matriz B es inversa de la matriz A)

Ejercicios de examen de ingreso a la universidad

1. (Fei-SP) Dada la matriz A =, donde At está transpuesta, el determinante de la matriz A. Unt es:

a) 1
b) 7
c) 14
d) 49

2. (FGV-SP) A y B son matrices y At es la matriz transpuesta de A. Si, entonces la matriz At . B será nulo para:

a) x + y = –3
b) x. y = 2
c) x / y = –4
d) x. y2 = –1
e) x / y = –8

3. (UFSM-RS) Sabiendo que la matriz

igual transpuesto, el valor de 2x + y es:

a) –23
b) –11
c) -1
d) 11
e) 23

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