Matrix es una tabla formada por números reales, organizados en filas y columnas. Los números que aparecen en la matriz se llaman elementos.

Aproveche las preguntas resueltas y comentadas del examen de ingreso para responder a todas sus preguntas sobre este contenido.

Problemas examinados de ingreso a la universidad

1) Unicamp – 2018

Deje a y b ser números reales de modo que la matriz A = satisfaga la ecuación A2= aA + bI, donde I es la identidad matricial de orden 2. Por lo tanto, el producto ab es igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Para averiguar el valor del producto a.b, primero necesitamos conocer el valor de a y b. Entonces, consideremos la ecuación dada en el problema.

Para resolver la ecuación, calculemos el valor de A2, que se realiza multiplicando la matriz A por sí misma, es decir:

Esta operación se realiza multiplicando las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz, como se muestra a continuación:

Así matriz A2 es igual a:

Considerando el valor que acabamos de encontrar y recordando que en la matriz de identidad los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los otros elementos son iguales a 0, la ecuación será:

Ahora tenemos que multiplicar la matriz A por el número a y la matriz de identidad por el número b.

Recuerde que para multiplicar un número por una matriz, multiplicamos el número por cada elemento de la matriz.

Así, nuestra igualdad será igual a:

Sumando las dos matrices, tenemos:

Dos matrices son iguales cuando todos los elementos coincidentes son iguales. De esta manera podemos escribir el siguiente sistema:

Aislando a a en la segunda ecuación:

Sustituyendo el valor encontrado por a en la primera ecuación, encontramos el valor de b:

2 + b = 1
b = 1 – 2
b = -1

Por lo tanto, el producto estará dado por:

a. b = -1. 2
a. b = – 2

Alternativa: a) −2.

2) Unesp – 2016

Un punto P, de coordenadas (x, y) del plano cartesiano ortogonal, está representado por la matriz de la columna, tal como la matriz de la columna representa, en el plano cartesiano ortogonal, el punto P de las coordenadas (x, y). Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de matrices es una matriz de columnas que, en el plano cartesiano ortogonal, necesariamente representa un punto que es

a) una rotación en sentido horario de P en 180 ° y centrada en (0, 0).
b) una rotación de P en sentido antihorario de 90 ° y centrada en (0, 0).
c) simétrica de P con respecto al eje horizontal x.
d) simétrica de P con respecto al eje vertical y.
e) una rotación en sentido horario de P con centrado en (0, 0).

El punto P está representado por una matriz, de modo que la abscisa (x) está indicada por el elemento a11 y el orden (y) por el elemento a21 de la matriz.

Para encontrar la nueva posición del punto P, debemos resolver la multiplicación de las matrices presentadas y el resultado será:

El resultado representa la nueva coordenada del punto P, es decir, la abscisa es igual a – y la ordenada igual a x.

Para identificar la transformación sufrida por la posición del punto P, representemos la situación en el plano cartesiano, como se indica a continuación:

Por lo tanto, el punto P, que inicialmente se encontraba en el primer cuadrante (abscisa positiva y ordenada), se movió al segundo cuadrante (abscisa negativa y ordenada positiva).

Al moverse a esta nueva posición, el punto ha girado en sentido antihorario como se muestra en la imagen de arriba con la flecha roja.

Todavía necesitamos identificar cuál era el valor del ángulo de rotación.

Al conectar la posición original del punto P al centro del eje cartesiano y hacer lo mismo con respecto a su nueva posición P´, tenemos la siguiente situación:

Tenga en cuenta que los dos triángulos indicados en la figura son congruentes, es decir, tienen las mismas medidas. De esta manera, sus ángulos también son iguales.

Además, los ángulos α y θ son complementarios, ya que como la suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º y el triángulo es rectangular, la suma de estos dos ángulos será 90º.

Por lo tanto, el ángulo de rotación del punto, indicado en la figura por β, solo puede ser igual a 90º.

Alternativa: (b) una rotación de P en sentido antihorario de 90 ° y centrada en (0, 0).

3) Unicamp – 2017

Siendo un número real, considere la matriz A =. Entonces, A2017 es igual a

a)
b)
c)
d)

Primero, tratemos de encontrar un estándar para los poderes, ya que es muy laborioso multiplicar la matriz A por sí mismo 2017 veces.

Recordando que en la multiplicación de matrices, cada elemento se encuentra sumando los resultados de multiplicar los elementos de fila de uno por los elementos de columna del otro.

Comencemos calculando A2:

El resultado fue la matriz de identidad, y cuando multiplicamos cualquier matriz por la matriz de identidad, el resultado será la matriz misma.

Por lo tanto, el valor de A3 será igual a la matriz A en sí, porque A3 = A2 . A.

Este resultado se repetirá, es decir, cuando el exponente es par, el resultado es la matriz de identidad y cuando es impar, será la matriz A.

Como 2017 es impar, entonces el resultado será igual a la matriz A.

Alternativa: b)

4) UFSM – 2011

El diagrama dado representa la cadena alimentaria simplificada de un ecosistema dado. Las flechas indican la especie de la que se alimenta la otra especie. Asignando el valor 1 cuando una especie se alimenta de otra y cero cuando ocurre lo contrario, tenemos la siguiente tabla:

La matriz A = (aij)4×4, asociado a la tabla, tiene la siguiente ley de formación:

Siendo el número de fila indicado por i y el número de columna indicado por j, y mirando la tabla, notamos que cuando i es igual a j, oi es mayor que j, el resultado es cero.

Las posiciones ocupadas por 1 son aquellas en las que el número de columna es mayor que el número de fila.

Alternativa: c)

5) Unesp – 2014

Considere la ecuación matricial A + BX = X + 2C, cuya incógnita es la matriz X y todas las matrices son cuadrados de orden n. La condición necesaria y suficiente para que esta ecuación tenga una solución única es que:

a) B – I ≠ O, donde I es la matriz de identidad de orden n y O es la matriz nula de orden n.
b) B es invertible.
c) B ≠ O, donde O es la matriz nula de orden n.
d) B – I es invertible, donde I es la identidad matricial de orden n.
e) A y C son invertibles.

Para resolver la ecuación matricial, necesitamos aislar X en un lado del signo igual. Para esto, inicialmente restaremos la matriz A en ambos lados.

A – A + BX = X + 2C – A
BX = X + 2C – A

Ahora, restemos X, también en ambos lados. En este caso, la ecuación será:

BX – X = X – X + 2C – A
BX – X = 2C – A
X. (B – I) = 2C – A

Como I es la matriz de identidad, cuando multiplicamos una matriz por identidad, el resultado es la matriz misma.

Por lo tanto, para aislar X ahora debemos multiplicar ambos lados del signo igual por la matriz inversa de (B-I), es decir:

X. (B-I). (B-I) – 1 = (B – I) – 1. (2C – A)

Recordando que cuando una matriz es invertible, el producto de la matriz por el inverso es igual a la identidad de la matriz.
X = (B – I) – 1. (2C – A)

Por lo tanto, la ecuación tendrá solución cuando B – I es invertible.

Alternativa: d) B – I es invertible, donde I es la identidad matricial de orden n.

6) Enem – 2012

Un estudiante registró las calificaciones bimensuales de algunas de sus materias en una tabla. Señaló que las entradas numéricas en la tabla formaban una matriz de 4×4, y que podía calcular los promedios anuales de estas disciplinas usando el producto de matriz. Todas las pruebas tenían el mismo peso, y la tabla que obtuvo se muestra a continuación.

Para obtener estos promedios, multiplicó la matriz obtenida de la tabla por

La media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de valores.

Por lo tanto, el estudiante debe sumar las calificaciones de los 4 meses y dividir el resultado entre 4 o multiplicar cada calificación por 1/4 y agregar todos los resultados.

Usando matrices, podemos lograr el mismo resultado haciendo una multiplicación matricial.

Sin embargo, debemos recordar que solo es posible multiplicar dos matrices cuando el número de columnas de una es igual al número de filas de la otra.

Como la matriz de notas tiene 4 columnas, la matriz que multiplicaremos debe tener 4 filas. Por lo tanto, debemos multiplicar por la matriz de la columna:

Alternativa: e

7) Fuvest – 2012

Considere la matriz, donde el Es un numero real. Sabiendo que A admite lo contrario A-1 cuya primera columna es la suma de los elementos de la diagonal principal de A-1 es igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

La multiplicación de una matriz por su inverso es igual a la matriz de identidad, por lo que podemos representar la situación mediante la siguiente operación:

Resolviendo la multiplicación de la segunda fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz, tenemos la siguiente ecuación:

(a – 1). (2a – 1) + (a + 1). (-1) = 0
2do2 – a – 2a + 1 + (- a) + (- 1) = 0
2do2 – 4a = 0
2a (a – 2) = 0
a – 2 = 0
a = 2

Sustituyendo el valor de a en la matriz, tenemos:

Ahora que conocemos la matriz, calculemos su determinante:

Por lo tanto, la suma de la diagonal principal será igual a 5.

Alternativa: a) 5

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