Un lógica matemática analiza una propuesta dada para identificar si representa una declaración verdadera o falsa.

Al principio, la lógica estaba vinculada a la filosofía, habiendo sido iniciada por Aristóteles (384-322 a. C.) que se basaba en la teoría del silogismo, es decir, en argumentos válidos.

La lógica solo se convirtió en un área matemática de los trabajos de George Boole (1815-1864) y Augustus de Morgan (1806-1871), cuando presentaron los fundamentos de la lógica algebraica.

Este cambio de paradigma ha hecho de la lógica matemática una herramienta importante para la programación de computadoras.

Proposiciones

Las proposiciones son palabras o símbolos que expresan un pensamiento con un significado completo e indican declaraciones de hecho o ideas.

Estas declaraciones asumen valores lógicos que pueden ser verdaderos o falsos y para representar una proposición usualmente usamos las letras p y q.

Ejemplos son las proposiciones:

  • Brasil se encuentra en América del Sur (propuesta verdadera).
  • La Tierra es uno de los planetas del sistema solar. (verdadera proposición).
  • . (proposición verdadera).
  • La tierra es plana. (falsa proposición).
  • . (proposición falsa)

Considerando la lógica matemática, una proposición no puede ser tanto verdadera como falsa. Además, no hay posibilidad de una tercera situación que no sea verdadera o falsa.

Las proposiciones pueden ser simples cuando tienen una sola oración y compuestas cuando se forman combinando dos o más proposiciones simples.

"El cielo es azul" es un ejemplo de una proposición simple, mientras que la oración "El cielo es azul y las nubes son blancas" es un ejemplo de una proposición compuesta.

Conectivos

Las proposiciones simples que forman una proposición compuesta están unidas por elementos que se llaman conectivos. Además, también podemos usar conectores para modificar una propuesta.

En la proposición "El cielo es azul y las nubes son blancas" el elemento y es un conectivo que une dos proposiciones, en la proposición "El cielo no es azul" el conectivo no Modificar la proposición.

Tabla de la verdad

Cuando tenemos proposiciones compuestas, los valores lógicos resultantes dependen única y exclusivamente de los valores de cada proposición simple.

Por lo tanto, usamos un dispositivo llamado tabla de verdad o tabla de verdad, donde se colocan los valores de cada proposición y de acuerdo con los conectivos actuales llegamos al valor lógico final.

En una tabla de verdad, el número de filas y columnas dependerá del número de proposiciones simples que componen la proposición compuesta, y en cada columna se coloca una proposición.

A continuación se muestra la tabla de verdad para dos, tres y cuatro proposiciones:

Operaciones lógicas

Las operaciones realizadas a partir de proposiciones se denominan operaciones lógicas. Este tipo de operación sigue las reglas del llamado cálculo proposicional.

Las operaciones lógicas fundamentales son: negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

Negación

Esta operación representa el valor lógico opuesto de una proposición dada. Por lo tanto, cuando una proposición es verdadera, la no proposición será falsa.

Para indicar la negación de una proposición ponemos el símbolo ~ delante de la carta que representa la proposición así ~p significa la negación de p.

Ejemplo

P: Mi hija estudia mucho.
~P: Mi hija no estudia mucho.

Dado que el valor lógico de la no proposición es el inverso de la proposición, tenemos la siguiente tabla de verdad:

Conjunción

La conjunción se usa cuando entre las proposiciones existe la conexión e. Esta operación será verdadera cuando todas las proposiciones sean verdaderas.

El símbolo utilizado para representar esta operación es el ^, colocado entre las proposiciones. De esta manera cuando tenemos p ^ q significa "p y q".

Por lo tanto, la tabla de verdad de este operador lógico será:

Ejemplo:

Donde p: 3 + 4 = 7 y q: 2 + 12 = 10 ¿cuál es el valor lógico de p ^ q?

Solución

La primera proposición es verdadera, pero la segunda es falsa. Por lo tanto, el valor lógico de p y q será falso, ya que este operador solo será verdadero cuando ambas oraciones sean verdaderas.

Disyunción

En esta operación, el resultado será verdadero cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera. Por lo tanto, será falso solo cuando todas las proposiciones sean falsas.

La disyunción se usa cuando entre proposiciones existe la conexión o y para representar esta operación se usa el símbolo v entre las proposiciones por lo tanto p v q significa "p o q".

Suponiendo que si una de las proposiciones es verdadera, el resultado será verdadero, tenemos la siguiente tabla de verdad:

Condicional

El condicional es la operación realizada cuando la proposición usa el conectivo si … entonces … Para representar este operador usamos el símbolo →. Por lo tanto, p → q significa "si p, entonces q".

El resultado de esta operación será falso solo cuando la primera proposición sea verdadera y el consecuente sea falso.

Es importante destacar que una operación condicional no significa que una proposición sea la consecuencia de la otra, lo que estamos tratando es solo relaciones entre valores lógicos.

Ejemplo

¿Cuál es el resultado de la propuesta "Si un día tiene 20 horas, entonces un año tiene 365 días"?

Solución

Sabemos que un día no tiene 20 horas, por lo que esta propuesta es falsa, también sabemos que un año tiene 365 días, por lo que esta propuesta es cierta.

Por lo tanto, el resultado será verdadero, ya que el operador condicional solo será falso cuando el primero sea verdadero y el segundo falso, lo cual no es el caso.

La tabla de verdad para este operador será:

Bicondicional

El operador bicondicional está representado por el símbolo e indica una proposición del tipo … si y solo si … Por lo tanto, significa "p si y solo si q", es decir, p es condición necesaria y suficiente para q.

Al usar este operador, la oración será verdadera cuando las proposiciones sean ambas verdaderas o ambas falsas.

Los posibles resultados que podemos encontrar usando este operador se encuentran en la tabla a continuación:

Ejemplo

¿Cuál es el resultado de la proposición "3?0 0 = 2 si solo si 2 + 5 = 3 "?

Solución

La primera igualdad es falsa, porque 30 0 = 1 y el segundo también es falso (2 + 5 = 7), por lo que ambos son falsos, por lo que el valor lógico de la proposición es verdadero.

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