Dos líneas distintas que están en el mismo plano compiten cuando tienen un único punto en común.

Las líneas competidoras forman 4 ángulos entre sí y, según las medidas de estos ángulos, pueden ser perpendiculares u oblicuas.

Cuando los 4 ángulos formados por ellos son iguales a 90º, se llaman perpendiculares.

En la foto debajo de las líneas r y s son perpendiculares

Lineas perpendiculares

Si los ángulos formados son diferentes de 90º, se denominan competidores oblicuos. En la siguiente figura representamos las líneas. tu y v oblicuo

Líneas oblicuas

Líneas concurrentes, coincidentes y paralelas

Dos líneas que pertenecen al mismo plano pueden ser concurrentes, coincidentes o paralelas.

Mientras que las líneas de la competencia tienen un solo punto de intersección, las líneas coincidentes tienen al menos dos puntos en líneas comunes y paralelas. No tienen puntos en común.

Posición relativa de dos líneas

Conociendo las ecuaciones de dos líneas podemos verificar sus posiciones relativas. Para esto debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos líneas. Así tenemos:

  • Objetivos competitivos: el sistema es posible y está determinado (un único punto en común).
  • Líneas coincidentes: el sistema es posible y determinado (punto común infinito).
  • Líneas paralelas: el sistema es imposible (ningún punto en común).

Ejemplo:

Determine la posición relativa entre la línea r: x – 2y – 5 = 0 y la línea s: 2x – 4y – 2 = 0.

Solución:

Para encontrar la posición relativa entre las líneas dadas, debemos calcular el sistema de ecuaciones formadas por sus líneas, por lo tanto tenemos:

Al resolver el sistema por adición, encontramos la siguiente ecuación 0y = – 8, ya que no hay solución para esta ecuación, es imposible. De esta manera las dos líneas son paralelas.

Vértices opuestos a los ángulos

Dos líneas competidoras forman dos pares de ángulos.. Estos ángulos tienen un punto en común que se llama vértice.

Los pares de ángulos que se oponen por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

En la figura siguiente, representamos los ángulos AÓB y CÓD que están opuestos por el vértice, así como los ángulos AÔC y BÓD.

Punto de intersección entre dos líneas concurrentes

El punto de intersección entre dos líneas en competencia pertenece a las ecuaciones de las dos líneas. Por lo tanto, podemos encontrar las coordenadas de este punto en común, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de estas líneas.

Ejemplo:

Determine las coordenadas de un punto P común a las líneas. r y s, cuyas ecuaciones son x + 3y + 4 = 0 y 2x – 5y – 2 = 0, respectivamente.

Solución:

Para encontrar las coordenadas del punto, debemos resolver el sistema con las ecuaciones dadas. Así tenemos:

Resolviendo el sistema tenemos:

Sustituyendo este valor en la primera ecuación encontramos:

Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección son, es decir.

Aprenda más leyendo también:

Ejercicios resueltos

1) En un sistema de eje ortogonal, – 2x + y + 5 = 0 y 2x + 5y – 11 = 0 son, respectivamente, las ecuaciones de las líneas r y s. Determine las coordenadas del punto de intersección de r con s.

2) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que las ecuaciones de las líneas de soporte en sus lados son – x + 4y – 3 = 0, – 2x + y + 8 = 0 y 3x + 2y – 5 = 0?

3) Determine la posición relativa de las líneas r: 3x – y -10 = 0 y 2x + 5y – 1 = 0.