Leyes de kepler resumen y ejercicios resueltos


Leyes de Kepler Resumen y Ejercicios Resueltos

Resumen de Las Leyes de Kepler

Las Leyes de Kepler son un conjunto de tres leyes descubiertas por el científico alemán Johannes Kepler entre los años 1609 y 1619. Estas leyes tienen una gran importancia para la astrología, ya que describen el movimiento de los planetas en torno al sol. Estas leyes son:

  • Primera Ley de Kepler: Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, con el Sol ubicado en uno de los focos de la elipse.
  • Segunda Ley de Kepler: La línea que une al Sol con un planeta describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
  • Tercera Ley de Kepler: El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de la semi-distancia al Sol.

Ejemplos de Ejercicios Resueltos de Las Leyes de Kepler

Los ejercicios sobre las leyes de Kepler se suelen centrar en hallar la distancia del planeta al sol, tiempos de vuelta y velocidades. A continuación se dan algunos ejemplos y su solución.

  • Para un planeta que tarda 5 años en hacer una vuelta completa alrededor del sol, calcular la distancia del planeta al Sol:
    • Solución: Utilizando la tercera ley de Kepler, sabemos que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la semi-distancia al Sol. Primero calculamos el periodo, el cual es 5 años. Luego, elevamos el periodo al cuadrado, que es 25. Finalmente, hallamos la raíz cúbica de 25, que es 7.071. Por lo tanto, la distancia del planeta al sol es 7.071 UA (unidades astronómicas).
  • Para un planeta que tarda 2 meses en hacer una vuelta completa alrededor del Sol, calcular su velocidad promedio:
    • Solución: Utilizamos la tercera ley de Kepler, sabemos que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la semi-distancia al sol. Primero calculamos el periodo, el cual es 2 meses. Luego, hallamos el cubo de la semi-distancia al sol, que es 0.5. Por último, determinamos la velocidad promedio utilizando la fórmula, que es 0.29 UA/mes.

Esperamos que este artículo haya servido para explicar las leyes de Kepler y para ilustrar el cálculo de ejercicios relacionados con ellas.

Leyes de Kepler: Resumen y Ejercicios Resueltos

Breve Resumen sobre las Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler son tres enunciados matemáticos propuestos por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol:

  • Primera ley de Kepler: La órbita de un planeta alrededor del Sol es elíptica, con el Sol en uno de sus focos.
  • Segunda ley de Kepler: El segmento que une al planeta con el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.
  • Tercera ley de Kepler: Existe una relación matemática entre el período de un planeta y su semieje mayor.

Ejercicios Resueltos con las Leyes de Kepler

A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos sobre las leyes de Kepler:

  • Ejercicio 1: En un sistema planetario de dos cuerpos, el Sol y un planeta, el sistema presenta una órbita circular. Determine el periodo del planeta si el radio del Sol al planeta es 8U.A (U.A = Unidad Astronómica).

    Solución: El periodo de un cuerpo en una órbita circular depende solamente de la constante universal de gravitación (G) y de la masa del cuerpo alrededor del cual se mueve el objeto.

    Cómo sabemos, la ley de la gravitación universal se expresa como:

    F = G*m1*m2/R²

    Donde:

    • F: Fuerza de gravedad
    • G: Constante Universal de Gravitación
    • m1: Masa del cuerpo que se mueve
    • m2: Masa del cuerpo alrededor del cual se mueve el objeto
    • R: Distancia entre los cuerpos

    Además, el periodo del planeta se puede calcular a partir de la ecuación de la tercera ley de Kepler, que nos dice que:

    P² = (4π²/G) * M * a³

    Donde:

    • P: Periodo
    • G: Constante universal de gravitación
    • M: Masa del cuerpo alrededor del cual se mueve el objeto
    • a: Distancia entre los cuerpos

    Por lo tanto, el periodo del planeta es:

    P = (4π²/G) * M * R³

    Substituimos los valores:

    P = (4π²/(6.67 x 10⁻¹¹ N.m²/Kg²)) * 2E30 Kg * (8 x 1.5 x 10¹⁰ m)³

    P = 10⁻¹⁰ s

    P = 8,64 días

  • Ejercicio 2: Un planeta se encuentra a 0.8 U.A del Sol. Determine el periodo del planeta, suponiendo que está en una órbita elíptica.

    Solución: Le aplicamos la tercera ley de Kepler, que nos dice que:

    P² = (4π²/G) * M * a³

    Donde:

    • P: Periodo
    • G: Constante universal de gravitación
    • M: Masa del cuerpo alrededor del cual se mueve el objeto
    • a: Distancia entre los cuerpos

    Entonces, el periodo del planeta es:

    P = (4π²/(6.67 x 10⁻¹¹ N.m²/Kg²)) * 2E30 Kg * (0.8 x 1.5 x 10¹⁰ m)³

    P = 9,92 x 10⁻¹¹ s

    P = 8,37 días

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