Ley del coseno aplicacion ejemplos y ejercicios


Ley del Coseno

La Ley del Coseno es un teorema matemático que se aplica en los triángulos. Establece un vínculo entre los ángulos de un triángulo y los lados opuestos a cada uno de los ángulos. Esta ley se aplica en numerosos campos como topología, trigonometría, geometría y álgebra.

Aplicación

La ley del coseno se aplica para encontrar el tercer lado de un triángulo conocidos los dos primeros junto con el ángulo situado entre ellos. La relación entre los lados y el ángulo se representa con la siguiente fórmula:

c² = a² + b² – 2abcosγ

Donde:

  • c : lado que se desea calcular
  • a : primer lado conocido
  • b : segundo lado conocido
  • γ : ángulo conocido en grados

Además, si se conocen todos los lados del triángulo, es posible calcular el ángulo γ aplicando la siguiente fórmula:

cosγ = (a² + b² – c²)/2ab

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos para entender mejor como aplicar la Ley del Coseno.

Caso 1 Sea el triángulo ABC, con la medida del lado a=5cm, German 8cm y ángulo γ=25º. Para calcular el lado b debemos aplicar la fórmula:

b² = a² + c² – 2ac cosγ

b² = 5² + 8² -2×5×8 cos25º

b = 11.35cm

Caso 2 Sea el triángulo ABC, con la medida del lado a=8.7cm, b=10.2cm y c=9.2cm. Para calcular el ángulo γ debemos aplicar la fórmula:

cosγ = (a² + b² – c²)/2ab

cosγ = (8.7² + 10.2² – 9.2²)/2×8.7×10.2

γ = 24.25º

Ejercicios

Ejercicio 1 Calcule el lado b del triángulo cuyos lados son a=5cm, c=7cm y ángulo γ=30º.

b² = a² + c² – 2ac cosγ

b² = 5²+7² – 2×5×7 cos30º

b = 8.7cm

Ejercicio 2 Calcule el ángulo γ del triángulo cuyos lados son a=1.2cm, b=7.8cm y c=7.0cm.

cosγ = (a² + b² – c²)/2ab

cosγ = (1.2² + 7.8² – 7.0²)/2×1.2×7.8

γ = 53.24º

Ley del Coseno: aplicaciones, ejemplos y ejercicios

¿Qué es la Ley del Coseno?

La Ley del Coseno, también conocida como la Ley de Cosenos, establece la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Es una importante ley matemática en geometría plana, que utilizamos para resolver diferentes tipos de problemas de triángulos.

Aplicaciones de la Ley del Coseno

La Ley del Coseno tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, tales como:

  • Encuentra el tamaño de un ángulo del triángulo dadas la longitud de sus lados.
  • Resuelve problemas de á geometricos.
  • Utilizado por diseñadores y constructores para calcular la distancia entre dos puntos.
  • Calcula la longitud de un lado de un triángulo conociendo los ángulos y la longitud del lado opuesto.
  • Ayuda en los cálculos de navidad.

Ejemplo de la Ley del Coseno

Supongamos que tenemos un triángulo con los lados A, B y C. La Ley del Coseno dice que:

A² = B² + C² – 2BC Cos (α)

Donde α es el ángulo entre los lados B y C.

Ejercicios de la Ley del Coseno

  • Tenemos un triángulo rectángulo con los lados a = 5 cm, b = 12 cm, ¿cuál es la longitud de c?

    Utilizando la Ley del Coseno, tenemos: c² = a² + b² – 2abCos (90°)

    c² = 5² + 12² – 2 (5)(12) cos (90°)

    c = 13 cm

  • Tenemos un triángulo con los lados a = 7 cm, b = 8 cm y c =10 cm ¿cuál es el valor del ángulo α?

    Utilizando la Ley del Coseno, tenemos: a² = b² + c² – 2bcCos (α)

    7² = 8² + 10² – 2 (8)(10) cos (α)

    cos (α)= 0.134

    α = 79.42°

Ley del coseno – Aplicación, ejemplos y ejercicios

La ley coseno es un teorema matemático usado para calcular los ángulos y longitudes de un triángulo que se conocen varios de sus lados. Su aplicación es importante en el análisis de problemas relacionados con los triángulos, como en la construcción de edificios, ingeniería de construcción, cartografía y mucho más.

Aplicación

La ley del coseno se aplica en diferentes situaciones. Estos son algunos ejemplos:

  • Para encontrar un lado de un triángulo dada una hipotenusa y un ángulo opuesto a él.
  • Para hallar un ángulo de un triángulo a partir de otro ángulo y la longitud de los lados opuestos a ellos.
  • Para encontrar la longitud de un lado en un triángulo donde se conocen los otros dos lados y el ángulo entre ellos.

Ejemplos

Vamos a considerar un triángulo con los lados A, B y C, y los ángulos α, β, γ:

  • Para hallar el lado opuesto al ángulo α: Si se conoce la hipotenusa C y el ángulo α (C, α), la ley del coseno se aplica para hallar el lado A.
    Esto se hace de la siguiente forma: A = C x cos (α).
  • Para hallar el ángulo opuesto al lado A: Si se conocen los lados A y B (A, B), la ley del coseno se aplica para hallar el ángulo α. Esto se hace de la siguiente forma: α = cos-1(A / B).
  • Para hallar el lado opuesto al ángulo β: Si se conocen los lados A y C (A, C), y el ángulo β (β) entre ellos, la ley del coseno se aplica para hallar el lado B. Esto se hace de la siguiente forma: B = A x cos (β).

Ejercicios

A continuación se proponen algunos ejercicios para aplicar la ley del coseno:

  • Hallar el lado A de un triángulo con el lado C de 3 cm y un ángulo de 40°.
  • Hallar el ángulo α de un triángulo con los lados A de 8 cm y B de 10 cm.
  • Hallar el lado B en un triángulo con lados A de 9 cm y C de 4 cm, y un ángulo β entre ellos de 25°.

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