Ley del coseno: aplicación, ejemplos y ejercicios

Ley del coseno. Se usa para calcular la medida de un lado o ángulo desconocido de cualquier triángulo, conociendo sus otras medidas.

Ley del coseno – Definición y fórmulas

El teorema del coseno establece que:

En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo entre ellos.“.

Así, por la ley de cosenos tenemos las siguientes relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo:

ley de cosenos

Fórmulas

  • a2 = b2 + c2 – 2bcCos A
  • b2 = a2 + c2 – 2acCos B
  • c2 = a2 + b2 – 2abCos C

Ejemplos

1. Dos lados de un triángulo miden 20 cm y 12 cm y forman un ángulo de 120 °. Calcule la medida del tercer lado.

Solución

Para calcular la medida del tercer lado usaremos la ley del coseno. Para esto, consideremos:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = – 0,5 (valor encontrado en tablas trigonométricas).

Reemplazar estos valores en la fórmula:

el2 = 202 + 122 – 2. 20 12 (- 0.5)
el2 = 400 + 144 + 240
el2 = 784
a = √784
a = 28 cm

Entonces el tercer lado mide 28 cm.

2. Determine la medición del lado de CA y la medición del ángulo del vértice A:

Primero, determinemos el AC = b:

b2 = 82 + 102 – 2. 8 10 cos 50
b2 = 164-160. cos 50
b2 = 164-160. 0.64279
b ≈ 7.82

Ahora, determinemos la medida del ángulo por la ley del coseno:

8vo2 = 102 + 7.822 – 2. 10 7.82. cos
64 = 161,1524 – 156,4 cos
cos = 0.62
 = 52º

Obs: Para encontrar los valores de los ángulos del coseno utilizamos la tabla trigonométrica. En él, tenemos los valores de ángulos de 1 a 90º para cada función trigonométrica (seno, coseno y tangente).

Solicitud

La ley del coseno se puede aplicar a cualquier triángulo. Ya sea un ángulo recto (ángulos internos inferiores a 90º), un ángulo obtuso (con un ángulo interno mayor de 90º) o un rectángulo (con un ángulo interno igual a 90º).

¿Qué pasa con los triángulos rectángulos?

Apliquemos la ley del coseno al lado opuesto del ángulo de 90 ° como se indica a continuación:

el2 = b2 + c2 – 2. b. c. 90

Como cos 90º = 0, la expresión anterior es:

el2 = b2 + c2

Lo que equivale a la expresión del teorema de Pitágoras. Por lo tanto, podemos decir que este teorema es un caso particular de la ley del coseno.

  • La ley del coseno es adecuada para problemas donde conocemos dos lados y el ángulo entre ellos y queremos descubrir el tercer lado.
  • Todavía podemos usarlo cuando conocemos los tres lados del triángulo y queremos conocer uno de sus ángulos.
  • Para situaciones donde conocemos dos ángulos y solo un lado y queremos determinar otro lado, es más conveniente usar la Ley de Senos.

Definición de coseno y seno

Coseno y seno de un ángulo se definen como relaciones trigonométricas. en un triángulo rectángulo El lado opuesto al ángulo recto (90 °) se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos, como se muestra en la siguiente figura:

triangulo rectángulo

  • El coseno se define entonces como la relación entre el cateto adyacente y la medición de hipotenusa.
  • El seno, por otro lado, es la relación entre la medición del catéter opuesto y la hipotenusa.

Ejercicios propuestos

1. (UFSCar) Si los lados de un triángulo miden x, x + 1 yx +2, entonces para cualquier x mayor que 1, el coseno del ángulo interno más grande de este triángulo es igual a:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2 / 3x
e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) En el triángulo, AB y AC tienen la misma medida, y la altura relativa al lado BC es 2/3 de la medida BC.

En base a estos datos, el coseno del ángulo CÂB es:

a) 25/7
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

3. (UF-Juiz de Fora) Dos lados de un triángulo miden 8 my 10 my forman un ángulo de 60 °. El tercer lado de este triángulo mide:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

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