Un Función lineal es una función f: ℝ → ℝ definida como f (x) = a.x, siendo un número real y distinto de cero. Esta función es un caso particular de la función relacionada. f (x) = a.x + b, cuando b = 0.

El número el que acompaña a la x de la función se llama coeficiente. Cuando su valor es 1, la función lineal también se llama función de identidad.

Ejemplo

En una tienda se venden relojes, cuyo precio de venta es igual a $ 40.00. El ingreso total de la venta de estos relojes se obtiene multiplicando el precio de cada unidad por la cantidad vendida. Considerando que x la cantidad vendida, determine:

a) una función que representa la situación descrita.
b) el tipo de función encontrada.
c) la cantidad de ingresos cuando se venden 350 relojes.

Solución

a) La cantidad de ingresos totales en función de la cantidad vendida puede representarse por: f (x) = 40.x
b) La función encontrada es una función de primer grado, con el valor de b = 0. Por lo tanto, es una función lineal.
c) Para encontrar los ingresos correspondientes a la venta de 350 relojes, simplemente reemplace este valor en la expresión encontrada. Así:

f (x) = 40. 350 = 14,000

Entonces, al vender 350 relojes, los ingresos brutos de la tienda serán iguales a $ 14,000.

Gráfico de funciones lineales

La gráfica de la función lineal es un derecho, que pasa por el origen, es decir, el punto (0,0). El coeficiente el de la función corresponde a la pendiente de esta línea.

A continuación representamos la función f (x) = 1/2 x, g (x) = x (función de identidad) y h (x) = 2x. Tenga en cuenta que cuanto mayor sea el valor de a, mayor será la pendiente de la línea.

Función ascendente y descendente

Las funciones lineales aumentarán cuando el aumento del valor de x aumente el valor de la función. Por otro lado, disminuirán cuando x aumente, la función disminuirá.

Para saber si una función lineal está aumentando o disminuyendo, simplemente identifique el signo del coeficiente. Si el positiva, la función aumentará, si es negativa disminuirá.

A continuación se muestra una gráfica de la función f (x) = 3 / 2.xy g (x) = – 3 / 2.x:

Ejercicios resueltos

1. (Fuvest) La función que representa la cantidad a pagar después de un descuento del 3% en el valor x de una mercancía es:

a) f (x) = x – 3
b) f (x) = 0.97x
c) f (x) = 1.3x
d) f (x) = -3x
e) f (x) = 1.03x

2. (Fatec) La siguiente figura muestra el gráfico de la función f, donde f (x) representa el precio pagado en reales por x copias del mismo original en la copiadora Reprodux.

Según el cuadro, es cierto que el precio pagado en esta copiadora por

a) 228 copias del mismo original cuestan $ 22.50.
b) 193 copias del mismo original cuestan $ 9.65.
c) 120 copias del mismo original cuestan $ 7.50.
d) 100 copias del mismo original cuestan $ 5.00
e) 75 copias del mismo original cuestan $ 8.00.

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