Un función exponencial es cada función de ℝ en ℝ* *+, definido por f (x) = axdonde a es un número real mayor que cero y diferente de 1.

Aproveche los ejercicios comentados para responder todas sus preguntas sobre este contenido y asegúrese de verificar su conocimiento de las preguntas resueltas del concurso.

Ejercicios comentados

Ejercicio 1

Un grupo de biólogos está estudiando el desarrollo de una colonia bacteriana particular y ha descubierto que, en condiciones ideales, se puede encontrar el número de bacterias a través de la expresión N (t) = 2000. 20.5t, siendo t en horas.

Teniendo en cuenta estas condiciones, ¿cuánto tiempo después del inicio de la observación, el número de bacterias será igual a 8192000?

Solución

En la situación propuesta, sabemos el número de bacterias, es decir, sabemos que N (t) = 8192000 y queremos averiguar el valor de t. Luego simplemente reemplace este valor en la expresión dada:

Para resolver esta ecuación, escriba el número 4096 en factores primos, porque si tenemos la misma base, podemos unir los exponentes. Entonces factorizando el número que tenemos:

Por lo tanto, el cultivo tendrá 8 192 000 bacterias dentro de 1 día (24 h) del inicio de la observación.

Ejercicio 2

Los materiales radiactivos tienen una tendencia natural con el tiempo a desintegrar su masa radiactiva. El tiempo requerido para que la mitad de su masa radiactiva se desintegra se llama vida media.

La cantidad de material radiactivo de un elemento dado viene dada por:

Ser

N (t): la cantidad de material radiactivo (en gramos) en un momento dado.
N0 0: la cantidad inicial de material (en gramos)
T: la vida media (en años)
t: tiempo (en años)

Dado que la vida media de este elemento es de 28 años, determine el tiempo requerido para que el material radiactivo se reduzca al 25% de su cantidad inicial.

Solución

Para la situación propuesta A (t) = 0,25 A0 0 = 1/4 A0 0, para que podamos escribir la expresión dada, sustituyendo T por 28 años, luego:

Por lo tanto, la cantidad de material radiactivo tardará 56 años en reducirse en un 25%..

Problemas del concurso

1) Unesp – 2018

El ibuprofeno es un medicamento recetado para el dolor y la fiebre con una vida media de aproximadamente 2 horas. Esto significa que, por ejemplo, después de 2 horas de tomar 200 mg de ibuprofeno, solo quedarán 100 mg del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente. Después de otras 2 horas (4 horas en total), solo quedarán 50 mg en el torrente sanguíneo y así sucesivamente. Si un paciente recibe 800 mg de ibuprofeno cada 6 horas, la cantidad de este medicamento que permanecerá en el torrente sanguíneo durante 14 horas después de tomar la primera dosis será

a) 12.50 mg
b) 456.25 mg
c) 114,28 mg
d) 6.25 mg
e) 537.50 mg

Dado que la cantidad inicial de medicamento en el torrente sanguíneo cada 2 horas se reduce a la mitad, podemos representar esta situación a través del siguiente esquema:

Tenga en cuenta que el exponente en cada situación es igual al tiempo dividido por 2. Por lo tanto, podemos definir la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo en función del tiempo a través de la siguiente expresión:

Ser

Q (t): la cantidad en un momento dado
Q0 0: la cantidad inicial ingerida
t: tiempo en horas

Teniendo en cuenta que se tomaron 800 mg de ibuprofeno cada 6 horas, tenemos:

Para encontrar la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo después de 14 horas de tomar la primera dosis, debemos agregar las cantidades para la primera, segunda y tercera dosis. Calculando estas cantidades tenemos:

La cantidad de la primera dosis se encontrará considerando el tiempo igual a 14 h, por lo tanto tenemos:

Para la segunda dosis, como podemos ver en el esquema anterior, el tiempo fue de 8 horas. Anulando este valor tenemos:

El tiempo para la tercera dosis será de solo 2 horas. La cantidad para la 3ra dosis será entonces:

Ahora que conocemos las cantidades para cada dosis, podemos encontrar la cantidad total sumando cada una de las cantidades encontradas:

Qtotal= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 mg

Alternativa b) 456.25 mg

2) UERJ – 2013

Un lago utilizado para abastecer a una ciudad fue contaminado después de un accidente industrial, alcanzando el nivel de toxicidad T0 0, correspondiente a diez veces el nivel inicial.
Lee la siguiente información.

  • El flujo natural del lago permite que el 50% de su volumen se renueve cada diez días.
  • El nivel de toxicidad T (x) después de x días del accidente puede calcularse mediante la siguiente ecuación:

Considere D el menor número de días que se ha suspendido el suministro de agua, de modo que la toxicidad vuelva al nivel inicial.
Siendo log 2 = 0.3, el valor de D es igual a:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Para volver al nivel de toxicidad inicial es necesario que:

Al anular este valor en la función dada, tenemos:

Multiplicando en "cruz", la ecuación se convierte en:

2 0.1x= 10

Apliquemos el logaritmo base 10 en ambos lados para convertirlo en una ecuación de primer grado:

log (20.1x) = log 10

Recordando que el logaritmo de 10 en la base 10 es igual a 1, nuestra ecuación será:

0.1x. log 2 = 1

Suponiendo que log 2 = 0.3 y sustituyendo este valor en la ecuación:

Por lo tanto, el menor número de días que se debe suspender el suministro es de aproximadamente 34 días.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp – 2018

Deje f: ℝ → ℝ yg: ℝ+ → ℝ definido por

respectivamente.

La gráfica de la función compuesta gºf es:

El gráfico buscado es el de la función compuesta gºf, por lo tanto, el primer paso es determinar esta función. Para esto, debemos reemplazar la función f (x) en x de la función g (x). Haciendo este reemplazo encontraremos:

Usando la propiedad del cociente logaritmo y una potencia, tenemos:

Tenga en cuenta que la función que se encuentra arriba es de tipo ax + b, que es una función relacionada. Entonces su gráfico será una línea recta.

Además, el coeficiente angular a es igual a log10 5, que es un número positivo, por lo que el gráfico aumentará. De esta manera podemos eliminar las opciones b, c y e.

Entonces tenemos opciones a y d, sin embargo, cuando x = 0 tenemos que gof = – log10 2, que es un valor negativo como se representa en el gráfico a.

Alternativa a)

4) Unicamp – 2014

El siguiente gráfico muestra la curva de potencial biótico q (t) para una población de microorganismos a lo largo del tiempo t.

Como ayb son constantes reales, la función que puede representar este potencial es

a) q (t) = en + b
b) q (t) = abt
c) q (t) = en2 + bt
d) q (t) = a + log b t

A partir del gráfico presentado, podemos identificar que cuando t = 0, la función es igual a 1000. Además, también es posible observar que la función no es afín, porque el gráfico no es una línea.

Si la función fuera de tipo q (t) = at2+ bt, cuando t = 0, el resultado sería cero y no 1000. Por lo tanto, esta tampoco es una función cuadrática.

Como el registrob0 no está definido, ni la respuesta q (t) = a + logbt.

Por lo tanto, la única opción sería la función q (t) = abt. Suponiendo que t = 0, la función será q (t) = a, ya que a es un valor constante, si es igual a 1000, la función se ajustará al gráfico dado.

Alternativa b) q (t) = abt

5) Enem (PPL) – 2015

El sindicato de trabajadores de una empresa sugiere que el piso salarial de la clase es de $ 1,800, proponiendo un aumento porcentual fijo por cada año dedicado al trabajo. La expresión correspondiente a la (s) oferta (s) de salario en función de la duración del servicio (t) en años es s (t) = 1 800. (1.03)t .

Según la propuesta del sindicato, el salario de un profesional de esta empresa con 2 años de servicio será, en reales,

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3 709,62
d) 3,708.00
e) 1.909,62.

La expresión para calcular el salario en función del tiempo propuesta por el sindicato corresponde a una función exponencial.

Para encontrar el valor del salario en la situación dada, calculemos el valor de s cuando t = 2, como se muestra a continuación:

s (2) = 1800. (1.03)2 = 1800. 1.0609 = 1.909,62

Alternativa e) 1 909.62

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