Fracción generadora Es que cuando dividimos su numerador por el denominador, el resultado será un diezmo periódico (número decimal periódico).

Los números decimales periódicos tienen uno o más dígitos que se repiten infinitamente. Este número o cifras repetidas representan el período del número.

Cuando la parte decimal se compone solo del período, el diezmo se clasifica como simple. Cuando, además del punto, hay dígitos que no se repiten en la parte decimal, el diezmo estará compuesto.

Ejemplos

Cálculo de la fracción generadora.

Encuentre la fracción generadora de un diezmo periódico a menudo es necesario para nosotros realizar cálculos, por ejemplo, en expresiones numéricas.

Para descubrir la fracción generadora de un diezmo periódico simple, podemos seguir estos pasos:

  • 1er paso: Equipare el diezmo periódico con un desconocido, por ejemplo x, para escribir una ecuación de primer grado.
  • 2do paso: Multiplica ambos lados de la ecuación por un múltiplo de 10. Para saber cuál será el múltiplo, debemos identificar cuántos decimales debemos "caminar" para que el punto esté antes de la coma.
  • 3er paso: Disminuya la ecuación encontrada a partir de la ecuación inicial.
  • 4to paso: Aislar lo desconocido.

Ejemplos

1) Encuentra la fracción generadora del número 0.8888 …

Solución

Primero escribamos la ecuación del primer grado, igualando el número a x:

x = 0.8888 …

Tenga en cuenta que el período se compone de un solo dígito (8). Por lo tanto, tenemos que "caminar" solo una casa para tener el período delante de la coma. Así multiplicamos la ecuación por 10.

10 x = 10. 0,8888 …
10x = 8.888 …

Ahora reduzcamos las dos ecuaciones, a saber:

Aislando x, encontramos la fracción generadora:

2) Convierta el número decimal 0.454545 … en una fracción.

Solución

Seguiremos los mismos pasos que en el ejemplo anterior. La única diferencia es que el período ahora se compone de 2 dígitos (45). En este caso, tendremos que "caminar" dos casas, y luego multiplicaremos por 100.

x = 0.454545 …
100x = 100. 0,454545 …
100x = 45,454545 …

Restando las ecuaciones:

Al aislar x, encontramos que la fracción generadora es igual a. Podemos simplificar aún más esta fracción dividiendo el numerador y el denominador entre 9.

Así tenemos:

Cuando se compone el diezmo periódico, además de los simples pasos dados, también debemos multiplicar la primera ecuación por un múltiplo de 10, lo que lo convierte en un diezmo simple.

Sigue el siguiente ejemplo:

¿Cuál es la fracción generadora de 2,3616161 …?

Solución

En este ejemplo, el diezmo periódico está compuesto porque el número 3, que aparece después de la coma, no se repite.

Escribiendo la ecuación inicial, tenemos:

x = 2.3616161 …

Como el diezmo está compuesto, primero debemos multiplicar esta ecuación por 10, porque con eso, pasamos el 3 al frente de la coma (un número que no se repite).

10 x = 23.616161 …

Ahora escribamos la otra ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación inicial por 1000 para que podamos pasar el punto al frente de la coma.

1000x = 2361.616161 …

Luego restaremos estas dos ecuaciones y aislaremos x para encontrar la fracción generadora.

Método práctico

Para encontrar la fracción generadora de un diezmo periódico, también podemos usar un método práctico.

Cuando el diezmo es simple, el numerador es igual a la parte completa con el período menos la parte completa, y en el denominador, las cantidades de "nueves" equivalen al número de dígitos del período.

Ejemplos

1) Determine la fracción generadora del diezmo periódico 0.222 …

Solución

Para encontrar la fracción generadora, usemos el método práctico como se describe a continuación:

2) ¿Cuál es la fracción generadora del diezmo periódico 34,131313 …?

Solución

Sigue el diagrama a continuación para encontrar la fracción generadora.

Cuando se compone el diezmo, el numerador es igual a la porción que no se repite con el período, menos la porción que no se repite.

Ejemplo

Encuentre la fracción generadora del diezmo periódico 6,3777 …

Solución

Como el diezmo periódico está compuesto, encontraremos la fracción generadora usando el siguiente esquema:

Ejercicios resueltos

1) NIIF – 2017

Un niño estaba en clase de matemáticas y el maestro propuso una actividad de fichas. Cada tarjeta tenía un número y la regla era colocar las tarjetas en orden ascendente. Observe la resolución del niño y configure V en verdadero y F en falso con cada oración a continuación.

I – La resolución del niño, representada en las hojas anteriores, es correcta.
II – Los números 1,333 … y – 0,8222 … son diezmos periódicos.
III – El número decimal 1,333 … no se puede escribir en el formulario.
IV – Añadiendo solo los valores positivos de las fichas, obtenemos.

Verifique la alternativa correcta.

a) F – V – F – V
b) F – F – F – F
c) F – V – V – V
d) V – F – V – F
e) V – V – V – V

Analizando cada artículo tenemos:

Yo … falso. El alumno debería haber colocado las fichas en orden ascendente. Sin embargo, coloca los números negativos en orden descendente porque -0.8222 … es mayor que -1.23 y -1.55.

II – Verdadero Los números que tienen dígitos que se repiten infinitamente se llaman diezmos periódicos. En el caso de los números dados, 3 y 2 respectivamente se repiten infinitamente.

III – Falso El número 1,333 … representa 1 + 0,333 …, la fracción generadora de este diezmo es:

Entonces podemos escribir el número decimal en forma de número mixto

IV – Cierto. Sumando los números positivos, tenemos:

Alternativa: a) F – V – F – V

2) Colegio Naval – 2013

¿Cuál es el valor de la expresión?

a) 0.3
b)
c) 1
d) 0
e) -1

Primero, convirtamos el exponente 0.333 en una fracción. Como es un diezmo periódico simple, cuyo período tiene solo un dígito, la fracción generadora será igual a.

Simplificando la fracción y realizando las otras operaciones, tenemos:

Alternativa: c) 1

Para obtener más información, consulte también: