Rationalisation des dénominateurs
La rationalisation des dénominateurs est un concept mathématique lié à la simplification des fractions. Il s'agit d'une technique permettant de trouver une expression équivalente d'une fraction, soit par élimination des racines, soit par factorisation par le bas.
Comment s'effectue la rationalisation des dénominateurs ?
- 1. Résolution de racines carrées :
- Par exemple, si vous avez une fraction de la forme : $$frac{a}{sqrt{b}}$$ Cela peut être simplifié en utilisant le carré du dénominateur : $$frac{a}{sqrt{b}} cdot frac {sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{a cdot sqrt{b}}{b}$$
- 2. Développement du facteur sur le dénominateur :
- Pour cela, il est important de connaître quelques propriétés des nombres premiers :
- si $$a divise b divise c implique a divise c$$
- si $$a divise b fois c implique a divise b text{ ou } a divise c$$
- si $$a divise b par c implique que a^2 divise b^2 fois c$$
- Pour cela, il est important de connaître quelques propriétés des nombres premiers :
Il est également important de connaître le théorème des facteurs communs, ce qui nous dit que, s'il existe un facteur commun à deux termes ou plus, il peut être pris en dehors des parenthèses, c'est-à-dire qu'il a été pris à côté du numérateur.
Exemples pratiques
- Simplifiez la fraction suivante : $$frac{2}{sqrt{8}-sqrt{15}-sqrt{12}}$$
- Tout d’abord, nous résolvons les racines carrées des dénominateurs :
- $$frac{2}{sqrt{8}-sqrt{15}-sqrt{12}} cdot frac{sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12}}{sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12}} =frac{2(sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12})}{8-15-12}$$
- Ensuite, les facteurs dénominateurs sont développés :
- $$frac{2(sqrt{8}+sqrt{15}+sqrt{12})}{8-15-12}=frac{2(sqrt{8}-sqrt{3}+3sqrt{2})}{-21} $$
- Enfin, les facteurs sont portés au numérateur :
- $$frac{2(sqrt{8}-sqrt{3}+3sqrt{2})}{-21}= frac{-2(sqrt{24}-3sqrt{3})}{-21}=frac{sqrt{24}-3sqrt{3}}{21} $$
Comme on peut le vérifier, en utilisant la technique de rationalisation du dénominateur, il a été possible de simplifier la fraction donnée, en restant avec $$frac{sqrt{24}-3sqrt{3}}{21}$$
Rationalisation des dénominateurs
Que signifie rationaliser les dénominateurs ?
Rationaliser les dénominateurs signifie supprimer les radicaux des dénominateurs. Il est présenté comme un moyen de simplifier les opérations et les équations. En éliminant les radicaux et en obtenant des fractions simplifiées, des opérations plus simples sont obtenues.
Quand utiliser la rationalisation du dénominateur
Nous pouvons utiliser la rationalisation des dénominateurs lorsque nous travaillons avec des fractions dont les opérations ont des radicaux dans leur dénominateur. En supprimant les radicaux du dénominateur, cela nous permettra d’opérer avec des fractions simples. Cela conduit à moins d’erreurs dans le processus opérationnel.
Comment le dénominateur est-il rationalisé ?
Pour rationaliser les dénominateurs, certaines étapes doivent être suivies :
- Supprimer les facteurs du dénominateur: Il faut d’abord supprimer les facteurs communs du dénominateur pour simplifier l’expression.
- Multipliez le numérateur et le dénominateur: Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le contenu du radical dudit dénominateur.
- Simplifier l'expression résultante: Enfin, nous avons une nouvelle fraction rationalisée où les radicaux ont été supprimés du dénominateur.
Exemples
- Rationaliser le dénominateur de 2/√(5)
- Solución: $$frac{2*sqrt{5}*2}{sqrt{5}*2*sqrt{5}} = frac{4*2}{2*5} = frac{8}{10}$$
- Rationaliser le dénominateur de 4/√(3)·√(2)
- Solución: $$frac{4*sqrt{6}}{sqrt{3}*sqrt{2}*sqrt{6}} = frac{4*sqrt{6}}{2*3*sqrt{6}} = frac{4*sqrt{2}}{6}$$
Conclusion
La rationalisation des dénominateurs simplifie les fractions et les équations en supprimant les radicaux du dénominateur. Dans le but de réduire les erreurs dans les opérations. Pour y parvenir, il est nécessaire de suivre certaines étapes où vous pouvez supprimer les facteurs du dénominateur tout en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par le contenu de leur radical, puis simplifier la fraction.