Un análisis combinatorio o combinatorio Es la parte de las matemáticas que estudia métodos y técnicas que le permiten resolver problemas de conteo.

Ampliamente utilizado en estudios de probabilidad, analiza posibilidades y posibles combinaciones entre un conjunto de elementos.

Principio fundamental de contar

El principio fundamental de contar, También llamado principio multiplicativo, postula que:

"cuando un evento se compone de n pasos sucesivos e independientes, de modo que las posibilidades de la primera etapa son xy las posibilidades de la segunda etapa son y, da como resultado el número total de posibilidades para que ocurra el evento, dado por el producto (x). (y)"

En resumen, el principio fundamental de contar multiplica el número de opciones entre las opciones que se le presentan.

Ejemplo

Un comensal vende una promoción de refrigerios a un precio único. Una merienda, una bebida y un postre están incluidos en la merienda. Se ofrecen tres opciones de sándwich: hamburguesa especial, sándwich vegetariano y hot dog completo. Como opción de bebida puede elegir 2 tipos: jugo de manzana o guaraná. Para el postre, hay cuatro opciones: cupcake de cereza, cupcake de chocolate, cupcake de fresa y cupcake de vainilla. Considerando todas las opciones ofrecidas, ¿de cuántas maneras puede un cliente elegir su refrigerio?

Solución

Podemos comenzar a resolver el problema presentado construyendo un árbol de posibilidades, como se ilustra a continuación:

Siguiendo el diagrama, podemos contar directamente cuántos tipos diferentes de refrigerios podemos elegir. Por lo tanto, identificamos que hay 24 combinaciones posibles.

Todavía podemos resolver el problema utilizando el principio multiplicativo. Para conocer las diferentes posibilidades de los refrigerios, simplemente multiplique la cantidad de sándwiches, bebidas y postres.

Posibilidades totales: 3.2.4 = 24

Entonces tenemos 24 tipos diferentes de bocadillos para elegir en la promoción.

Tipos de combinador

El principio fundamental de contar puede usarse en la mayoría de los problemas relacionados con el conteo. Sin embargo, en algunas situaciones su uso hace que la resolución sea muy laboriosa.

Por lo tanto, utilizamos algunas técnicas para resolver problemas con ciertas características. Básicamente hay tres tipos de agrupaciones: arreglos, combinaciones y permutaciones.

Antes de conocer mejor estos procedimientos de cálculo, necesitamos definir una herramienta que se use ampliamente para contar problemas, que es el factorial.

El factorial de un número natural se define como el producto de este número por todos sus predecesores. Usamos el símbolo ! para indicar el factorial de un número.

Se define además que el factorial de cero es igual a 1.

Ejemplo

Oh! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5,040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3,628,800

Tenga en cuenta que el valor del factorial crece rápidamente a medida que crece el número. Por lo tanto, a menudo utilizamos simplificaciones para realizar cálculos de análisis combinatorios.

Arreglos

En arreglos, las agrupaciones de los elementos dependen de su orden y naturaleza.

Por la simple disposición de no elementos tomados, p a p (p ≤ n), se utiliza la siguiente expresión:

Ejemplo

Como ejemplo de acuerdo, podríamos considerar votar para elegir un representante y un representante adjunto de una clase de 20 estudiantes. El más votado será el representante y el segundo más votado será el representante adjunto.

Entonces, ¿de cuántas maneras diferentes se puede hacer la elección? Tenga en cuenta que en este caso, el orden es importante ya que cambia el resultado final.

Por lo tanto, el arreglo puede estar hecho de 380 diferentes formas

Permutaciones

El permutaciones son agrupaciones ordenadas, donde la cantidad de elementos (n) de la agrupación es igual a la cantidad de elementos disponibles.

Tenga en cuenta que la permutación es un caso especial de disposición cuando el número de elementos es igual al número de agrupaciones. Por lo tanto, el denominador en la fórmula de matriz es igual a 1 en la permutación.

Así, la permutación se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo

Para ilustrar, pensemos en cuántas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas en un banco de 6 plazas.

Dado que el orden en el que se sentarán es importante y el número de asientos es igual al número de personas, utilizaremos la permutación:

Entonces hay 720 diferentes formas para que las 6 personas se sienten en este banco.

Combinaciones

El combinaciones son subconjuntos donde el orden de los elementos no es importante, sin embargo, se caracterizan por su naturaleza.

Entonces, para calcular una combinación simple de no elementos tomados p a p (p ≤ n), se utiliza la siguiente expresión:

Ejemplo

Para ilustrar, podemos considerar la elección de 3 miembros para formar un comité organizador de un evento, entre las 10 personas que presentaron la solicitud.

¿De cuántas maneras diferentes se puede formar este comité?

Tenga en cuenta que, a diferencia de los arreglos, en combinaciones el orden de los elementos no es relevante. Esto significa que elegir a Mary, John y Joseph es equivalente a elegir a John, Joseph y Mary.

Tenga en cuenta que para simplificar los cálculos, convertimos el factorial de 10 en un producto, pero conservamos el factorial de 7, de modo que fue posible simplificar con el factorial de 7 del denominador.

Entonces hay 120 formas distintas forman la comisión.

Probabilidad y análisis combinatorio

La probabilidad le permite analizar o calcular las posibilidades de obtener un resultado dado en un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son las probabilidades de que un número salga de una tirada de dados o la posibilidad de ganar la lotería.

A partir de esto, la probabilidad está determinada por la relación entre el número de eventos posibles y el número de eventos favorables, presentada por la siguiente expresión:

Ser:

P (A): probabilidad de que ocurra un evento
n (A): número de resultados favorables
n (Ω): número total de resultados posibles

Para encontrar el número de casos posibles y favorables, a menudo necesitamos recurrir a las fórmulas estudiadas en el análisis combinatorio.

Ejemplo

¿Qué posibilidades hay de que un jugador gane el premio máximo de la mega sena al hacer una apuesta mínima, es decir, apostar exactamente en los seis números sorteados?

Cuenta Mega Senna

Solución

Como hemos visto, la probabilidad se calcula por la relación de casos favorables a casos posibles. En esta situación, solo tenemos un caso favorable, es decir, apostar exactamente por los seis números sorteados.

El número de casos posibles se calcula considerando que se extraerán 6 números al azar, independientemente del orden, de un total de 60 números.

Para hacer este cálculo, usaremos la fórmula de combinación como se muestra a continuación:

Entonces hay 50 063 860 distintas formas de obtener el resultado. La probabilidad de hacerlo bien se calculará como:

Para completar sus estudios, haga los ejercicios de análisis combinatorio

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