La factorización es un proceso utilizado en matemáticas que consiste en representar un número o una expresión como producto de factores.

Al escribir un polinomio como la multiplicación de otros polinomios, a menudo podemos simplificar la expresión.

Echa un vistazo a los tipos de factorización polinómica:

Factor común en la evidencia

Usamos este tipo de factorización cuando hay un factor que se repite en todos los términos del polinomio.

Este factor, que puede contener números y letras, se colocará delante de los paréntesis.

Dentro de los paréntesis será el resultado de dividir cada término del polinomio por el factor común.

En la práctica, hagamos los siguientes pasos:

1) Identifique si hay algún número que divida todos los coeficientes del polinomio y las letras que se repiten en todos los términos.
2) Ponga los factores comunes (número y letras) delante de los paréntesis (en evidencia).
3) Ponga entre paréntesis el resultado de dividir cada factor del polinomio por el factor que está en evidencia. En el caso de las letras, usamos la regla de división de poder de la misma base.

Ejemplos

a) ¿Cuál es la forma factorizada del polinomio 12x + 6y – 9z?

Primero, identificamos que el número 3 divide todos los coeficientes y no hay letra repetida.

Ponemos el número 3 delante de los paréntesis, dividimos todos los términos entre tres y el resultado lo colocaremos dentro de los paréntesis:

12x + 6y – 9z = 3 (4x + 2y – 3z)

b) Factor 2a2b + 3a3c – a4 4.

Como no hay un número que divida 2, 3 y 1 al mismo tiempo, no pondremos ningún número delante de los paréntesis.

La letra el Se repite en todos los términos. El factor común será el el2, que es el exponente más pequeño de el En la expresión.

Dividimos cada término del polinomio por el2:

2do2 b: a2 = 2a2 – 2 b = 2b

3ro3c: a2 = 3a3 – 2 c = 3ac

el4 4 : a2 = a2

Ponemos el el2 delante de los paréntesis y los resultados de las divisiones entre paréntesis:

2do2b + 3a3c – a4 4 = a2 (2b + 3ac – a2)

Agrupación

Para el polinomio que no tiene un factor que se repite en todos los términos, podemos usar la factorización de agrupamiento.

Para hacerlo, debemos identificar términos que se puedan agrupar por factores comunes.

En este tipo de factorización, ponemos en evidencia los factores comunes de los grupos.

Ejemplo

Factoriza el polinomio mx + 3nx + my + 3ny

Los terminos mx y 3nx tiene como factor común la x. Ya los terminos mi y 3ny tener como factor común la y.

Poniendo estos factores en evidencia:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Tenga en cuenta que (m + 3n) ahora también se repite en ambos términos.

Poniéndolo de nuevo en evidencia, encontramos la forma factorizada del polinomio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinomio cuadrado perfecto

Los trinomios son polinomios con 3 términos.

Los trinomios cuadrados perfectos para2 + 2ab + b2 y el2 – 2ab + b2 resultado del notable producto de tipo (a + b)2 y (a – b)2.

Por lo tanto, la factorización del trinomio cuadrado perfecto será:

el2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (cuadrado de la suma de dos términos)

el2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (cuadrado de diferencia de dos términos)

Para saber realmente si un trinomio es un cuadrado perfecto, hacemos lo siguiente:

1) Calcule la raíz cuadrada de los términos que aparecen al cuadrado.
2) Multiplica los valores encontrados por 2.
3º) Compara el valor encontrado con el término que no tiene cuadrados. Si son iguales, es un cuadrado perfecto.

Ejemplos

a) Factoriza el polinomio x2 + 6x + 9

Primero, tenemos que probar si el polinomio es un cuadrado perfecto.

√x2 = x y √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2. 3 x = 6x

Como el valor encontrado es igual al término no cuadrado, el polinomio es cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Factoriza el polinomio x2 – 8xy + 9y2

Prueba si es un trinomio cuadrado perfecto:

√x2 = x y √9y2 = 3y

Haciendo la multiplicación: 2. x. 3y = 6xy

El valor encontrado no coincide con el término polinomial (8xy ≠ 6xy).

Como no es un trinomio cuadrado perfecto, no podemos usar este tipo de factorización.

Diferencia de dos cuadrados

Para factorizar escriba un polinomio2 – b2 Utilizamos el notable producto de la suma por diferencia.

Por lo tanto, la factorización de tales polinomios será:

el2 – b2 = (a + b). (a – b)

Para factorizar, debemos calcular la raíz cuadrada de los dos términos.

Luego escriba el producto de la suma de los valores encontrados por la diferencia de estos valores.

Ejemplo

Factorizando el binomio 9x2 – 25.

Primero, encuentre la raíz cuadrada de los términos:

X9x2 = 3x y √25 = 5

Escriba estos valores como producto de la suma por la diferencia:

9x2 – 25 = (3x + 5). (3x – 5)

Cubo perfecto

Los polinomios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 y el3 – 3er2b + 3ab2 – b3 resultado del notable producto de tipo (a + b)3 o (a – b)3.

Por lo tanto, la forma factorizada del cubo perfecto es:

el3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

el3 – 3er2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Para factorizar tales polinomios, debemos calcular la raíz cúbica de los términos del cubo.

Luego debes confirmar que el polinomio es el cubo perfecto.

Si es así, cubicamos la suma o resta de los valores de raíz cúbica encontrados.

Ejemplos

a) Factoriza el polinomio x3 + 6x2 + 12x + 8

Primero, calculemos la raíz cúbica de los términos del cubo:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Luego confirma si es un cubo perfecto:

3 x2 . 2 = 6x2

3 x. 22 = 12x

Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos polinómicos, también lo es un cubo perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Factorizando el polinomio a3 – noveno2 + 27a – 27

Primero calculemos la raíz cúbica de los términos del cubo:

3√ a3 = a y 3√ – 27 = – 3

Luego confirma si es un cubo perfecto:

3 el2 . (-3) = -9a2

3 a. (- 3)2 = 27a

Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos polinómicos, también lo es un cubo perfecto.

Por lo tanto, la factorización será:

el3 – noveno2 + 27a – 27 = (a – 3)3

También lee:

Ejercicios resueltos

Factoriza los siguientes polinomios:

a) 33x + 22y – 55z
b) 6nx – 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 – a2
e) 9a2 + 12a + 4