Un trigonometría estudia las relaciones entre ángulos y lados de un triángulo. Para un triángulo rectángulo definimos los motivos: seno, coseno y tangente.

Estas razones son muy útiles para resolver problemas en los que necesitamos encontrar un lado y conocer la medida de un ángulo, además del ángulo recto y uno de sus lados.

Aproveche las resoluciones comentadas del ejercicio para responder a todas sus preguntas. También asegúrese de verificar su conocimiento sobre las preguntas resueltas del concurso.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

La siguiente figura representa un avión que despegó en un ángulo constante de 40º y voló en línea recta a 8000 m. En esta situación, ¿qué tan alto estaba el avión cuando viajaba esta distancia?

Considera:

sen 40º = 0.64
40º = 0.77
tg 40º = 0.84

Solución

Comencemos el ejercicio representando en la figura la altura del avión. Para hacer esto, simplemente dibuje una línea perpendicular a la superficie que pasa el punto donde está el plano.

Notamos que el triángulo indicado es un rectángulo y la distancia recorrida representa la medida de la hipotenusa de este triángulo y la altura del collar opuesto al ángulo dado.

Por lo tanto, utilizaremos el seno de ángulo para encontrar la medida de altura:

Así, mientras viaja 8 000 m, el avión es 5 120 m de altura.

Ejercicio 2

Para una feria de ciencias, un grupo de estudiantes decidió construir un modelo de una casa, como se muestra a continuación. El techo estará hecho de una placa de espuma de poliestireno de 1 m de largo, que se dividirá por la mitad para formar las dos partes del techo. Sabiendo que el techo se realizará en un ángulo de 55º, calcule la medida x del ancho de la casa.

Considera:

sen 55th = 0.82
55 ° = 0.57
tg 55º = 1.43

Solución

Dado que el techo del modelo se realizará con una placa de espuma de poliestireno de 1 m de largo, dividir la placa por la mitad medirá 0,5 m en cada lado del techo.

El ángulo de 55º es el ángulo formado entre la línea recta que representa el techo y una línea recta en dirección horizontal. Si unimos estas líneas, formamos un triángulo isósceles (dos lados del mismo tamaño).

Entonces dibujemos la altura de este triángulo. Como el triángulo es isósceles, esta altura divide su base en segmentos del mismo tamaño que llamamos y como se muestra a continuación:

La medida y será igual a la mitad de la medida de x, eso corresponde al ancho de la casa.

Así tenemos la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo y buscamos la medida de y, que es el collar adyacente al ángulo dado.

Por lo tanto, podemos usar el coseno de 55 ° para calcular este valor:

Dado que el ancho de la casa es el doble de este tamaño, tenemos:

ancho de la casa = 2. 0.285 = 0.57

Entonces el modelo de la casa tendrá un 0,57 m de ancho o 57 cm.

Ejercicio 3

Un niño ve el punto más alto de una colina, como se muestra a continuación. Suponiendo que está a una distancia de 500 m de la base de la colina, calcule la altura (h) de este punto.

Considera:

sin vigésimo = 0.34
cos 20th = 0.93
tg 20º = 0.36

Solución

Mirando el dibujo, notamos que el ángulo visual es de 20º. Para calcular la altura de la colina, utilizaremos las relaciones del siguiente triángulo:

Como el triángulo es un rectángulo, calcularemos la medida x utilizando la relación trigonométrica tangente.

Elegimos esta relación, ya que conocemos el valor del ángulo del paquete adyacente y buscamos la medición del paquete opuesto (x)

Por lo tanto, tendremos:

Como el niño mide 1.30 m, la altura de la colina se encontrará sumando este valor al valor encontrado para x. Por lo tanto, tendremos:

h = 180 + 1.3 = 181.3

Por lo tanto, la altura de la colina será igual a 181,3 m.

Problemas del concurso

1) Cefet / MG – 2017

En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2. Sabiendo que la hipotenusa de este triángulo es 5, el valor del seno de ese mismo ángulo es

La tangente de un ángulo es igual a la razón de sus pinzas, por lo tanto:

Llamemos al collar opuesto al ángulo de b y al collar adyacente de c, para que podamos escribir la siguiente relación:

Por lo tanto, concluimos que b = 2c. Si aplicamos el teorema de Pitágoras, sustituyendo el valor de b por 2c, podemos encontrar el valor de las colecciones:

el2 = b2+ c2
25 = (2c)2+ c2
5c2= 25
c = √5

Siendo b = 2c, entonces b = 2√5. Ahora podemos calcular el valor del seno del ángulo:

Alternativa d: 2√5 / 5

2) Epcar – 2016

Las ciudades A, B y C están a orillas de un río y son abastecidas por una bomba ubicada en P, como se muestra a continuación.

Se sabe que el triángulo ABC es un rectángulo en B y la bisectriz de ángulo recto corta AC en el punto P. Si BC = 6√3 km, entonces CP es, en km, igual a

a) 6 + √3
b) 6 (3 – √3)
c) 9 √3 – √2
d) 9 (√ 2 – 1)

Podemos comenzar calculando el lado BA a través de razones trigonométricas, ya que el triángulo ABC es un rectángulo y tenemos la medida del ángulo formado por los lados BC y AC.

El lado BA está opuesto al ángulo dado (30º) y el lado BC está adyacente a este ángulo, por lo que calcularemos utilizando la tangente 30º:

Usando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar la medida del lado AC, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo:

Ahora que conocemos las medidas de los lados del triángulo ABC, podemos calcular la medida del lado CP a través del teorema de la bisectriz interna.

Para esto, tenga en cuenta que el lado PA es igual a 12 – PC, aplicando el teorema de la bisectriz interna, tenemos:

Alternativa b: 6 (3 – √3)

3) Enem – 2011

Para determinar la distancia desde un bote hasta la playa, un marinero utilizó el siguiente procedimiento: desde el punto A, midió el ángulo visual α apuntando a un punto fijo P desde la playa. Manteniendo el bote en la misma dirección, procedió al punto B para que fuera posible ver el mismo punto P de la playa, pero desde un ángulo visual 2α. La figura ilustra esta situación:

Suponga que el navegador midió el ángulo α = 30º y, al llegar al punto B, descubrió que el bote había recorrido la distancia AB = 2,000 m. Según estos datos y manteniendo la misma trayectoria, la distancia más corta desde el barco hasta el punto fijo P será

a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3 / 3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m

Después de pasar el punto B, la distancia más corta al punto fijo P será una línea recta que forma un ángulo de 900 0 con la trayectoria del barco, como se muestra a continuación:

Como α = 30º, luego 2α = 60º, entonces podemos calcular la medida del otro ángulo del triángulo BPC, recordando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 1800 0:

90º + 60º + x = 180º
x = 180º-90º- 60º = 30º

También podemos calcular el ángulo obtuso del triángulo APB. Como 2α = 60º, el ángulo adyacente será 1200 0 (1800 0-600 0) Con esto, el otro ángulo agudo del triángulo APB se calculará por:

30º + 120º + x = 180º
x = 180º-120º-30º = 30º

Los ángulos encontrados se muestran en la siguiente figura:

Por lo tanto, concluimos que el triángulo APB es isósceles, ya que tiene dos ángulos iguales. De esta manera, la medición del lado PB es igual a la medición del lado AB.

Conociendo la medición de CP, calculemos la medición de PC, que corresponde a la distancia más corta al punto P.

El lado PB corresponde a la hipotenusa del triángulo PBC y el lado PC corresponde al lado opuesto al ángulo de 60º. Entonces tendremos:

Alternativa b: 1000 √3 m

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Matemáticas