Un trigonometría estudia las relaciones entre ángulos y lados de un triángulo. Para un triángulo rectángulo definimos los motivos: seno, coseno y tangente.
Estas razones son muy útiles para resolver problemas en los que necesitamos encontrar un lado y conocer la medida de un ángulo, además del ángulo recto y uno de sus lados.
Aproveche las resoluciones comentadas del ejercicio para responder a todas sus preguntas. También asegúrese de verificar su conocimiento sobre las preguntas resueltas del concurso.
Contenido
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
La siguiente figura representa un avión que despegó en un ángulo constante de 40º y voló en línea recta a 8000 m. En esta situación, ¿qué tan alto estaba el avión cuando viajaba esta distancia?
Considera:
sen 40º = 0.64
40º = 0.77
tg 40º = 0.84
Solución
Comencemos el ejercicio representando en la figura la altura del avión. Para hacer esto, simplemente dibuje una línea perpendicular a la superficie que pasa el punto donde está el plano.
Notamos que el triángulo indicado es un rectángulo y la distancia recorrida representa la medida de la hipotenusa de este triángulo y la altura del collar opuesto al ángulo dado.
Por lo tanto, utilizaremos el seno de ángulo para encontrar la medida de altura:
Así, mientras viaja 8 000 m, el avión es 5 120 m de altura.
Ejercicio 2
Para una feria de ciencias, un grupo de estudiantes decidió construir un modelo de una casa, como se muestra a continuación. El techo estará hecho de una placa de espuma de poliestireno de 1 m de largo, que se dividirá por la mitad para formar las dos partes del techo. Sabiendo que el techo se realizará en un ángulo de 55º, calcule la medida x del ancho de la casa.
Considera:
sen 55th = 0.82
55 ° = 0.57
tg 55º = 1.43
Solución
Dado que el techo del modelo se realizará con una placa de espuma de poliestireno de 1 m de largo, dividir la placa por la mitad medirá 0,5 m en cada lado del techo.
El ángulo de 55º es el ángulo formado entre la línea recta que representa el techo y una línea recta en dirección horizontal. Si unimos estas líneas, formamos un triángulo isósceles (dos lados del mismo tamaño).
Entonces dibujemos la altura de este triángulo. Como el triángulo es isósceles, esta altura divide su base en segmentos del mismo tamaño que llamamos y como se muestra a continuación:
La medida y será igual a la mitad de la medida de x, eso corresponde al ancho de la casa.
Así tenemos la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo y buscamos la medida de y, que es el collar adyacente al ángulo dado.
Por lo tanto, podemos usar el coseno de 55 ° para calcular este valor:
Dado que el ancho de la casa es el doble de este tamaño, tenemos:
ancho de la casa = 2. 0.285 = 0.57
Entonces el modelo de la casa tendrá un 0,57 m de ancho o 57 cm.
Ejercicio 3
Un niño ve el punto más alto de una colina, como se muestra a continuación. Suponiendo que está a una distancia de 500 m de la base de la colina, calcule la altura (h) de este punto.
Considera:
sin vigésimo = 0.34
cos 20th = 0.93
tg 20º = 0.36
Solución
Mirando el dibujo, notamos que el ángulo visual es de 20º. Para calcular la altura de la colina, utilizaremos las relaciones del siguiente triángulo:
Como el triángulo es un rectángulo, calcularemos la medida x utilizando la relación trigonométrica tangente.
Elegimos esta relación, ya que conocemos el valor del ángulo del paquete adyacente y buscamos la medición del paquete opuesto (x)
Por lo tanto, tendremos:
Como el niño mide 1.30 m, la altura de la colina se encontrará sumando este valor al valor encontrado para x. Por lo tanto, tendremos:
h = 180 + 1.3 = 181.3
Por lo tanto, la altura de la colina será igual a 181,3 m.
Problemas del concurso
1) Cefet / MG – 2017
En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2. Sabiendo que la hipotenusa de este triángulo es 5, el valor del seno de ese mismo ángulo es
2) Epcar – 2016
Las ciudades A, B y C están a orillas de un río y son abastecidas por una bomba ubicada en P, como se muestra a continuación.
Se sabe que el triángulo ABC es un rectángulo en B y la bisectriz de ángulo recto corta AC en el punto P. Si BC = 6√3 km, entonces CP es, en km, igual a
a) 6 + √3
b) 6 (3 – √3)
c) 9 √3 – √2
d) 9 (√ 2 – 1)
3) Enem – 2011
Para determinar la distancia desde un bote hasta la playa, un marinero utilizó el siguiente procedimiento: desde el punto A, midió el ángulo visual α apuntando a un punto fijo P desde la playa. Manteniendo el bote en la misma dirección, procedió al punto B para que fuera posible ver el mismo punto P de la playa, pero desde un ángulo visual 2α. La figura ilustra esta situación:
Suponga que el navegador midió el ángulo α = 30º y, al llegar al punto B, descubrió que el bote había recorrido la distancia AB = 2,000 m. Según estos datos y manteniendo la misma trayectoria, la distancia más corta desde el barco hasta el punto fijo P será
a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3 / 3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m
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