Pon a prueba tus conocimientos de probabilidad con ejercicios comentados y propuestos y preguntas de Enem (National High School Exam).

Ejercicios comentados

1) En un experimento aleatorio se lanzaron dos dados dos veces. Suponiendo que los datos estén equilibrados, determine:

a) La probabilidad de obtener el primer número de lanzamiento 5 y el segundo número 4
b) La probabilidad de obtener en al menos una de las emisiones el número 5
c) La probabilidad de obtener el mismo número en ambas versiones
d) La probabilidad de obtener la suma de las entradas igual a 5
e) La probabilidad de obtener la suma de tiros igual o menor que 3.

Para resolver el ejercicio debemos considerar que la probabilidad de que ocurra un determinado evento viene dada por:

En la tabla 1 indicamos los pares resultantes de tiradas consecutivas del dado. Tenga en cuenta que tenemos 36 casos posibles.

Tabla 1:

1er lanzamiento->

2do lanzamiento

1 2 3 4 4 5to 6to
1 (1.1) (1,2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)
2 (2.1) (2.2) (2,3) (2.4) (2.5) (2.6)
3 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6)
4 4 (4.1) (4.2) (4.4) (4.4) (4,5) (4.6)
5to (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6)
6to (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5) (6.6)

a) La Tabla 1 muestra que solo hay 1 resultado que cumple la condición indicada (5,4). Por lo tanto, tenemos que en un total de 36 casos posibles, solo 1 es un caso favorable.

(b) Los pares que cumplen la condición de al menos un número 5 son: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2) ); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,5). Por lo tanto, tenemos 11 casos favorables.

c) Los pares con números iguales son: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Entonces tenemos 6 casos favorables. La probabilidad estará dada por:

d) En la tabla 2 representamos la suma de los valores encontrados.

Tabla 2:

1er lanzamiento->

2do lanzamiento

1 2 3 4 4 5to 6to
1 2 3 4 4 5to 6to 7mo
2 3 4 4 5to 6to 7mo

8vo

3 4 4 5to 6to 7mo 8vo Noveno
4 4 5to 6to 7mo 8vo Noveno 10
5to 6to 7mo 8vo Noveno 10 11
6to 7mo 8vo Noveno 10 11 12

Al observar los valores de suma en la tabla 2, vemos que tenemos 4 casos favorables de que la suma sea igual a 5. Por lo tanto, la probabilidad estará dada por:

e) Todavía usando la tabla 2 observamos que tenemos 3 casos donde la suma es igual o menor a 3. La probabilidad en este caso estará dada por:

2) ¿Qué posibilidades hay de tirar un dado siete veces y tirar 3 veces el número 5?

Para encontrar el resultado podemos usar el método binomial, ya que cada lanzamiento de dados es un evento independiente.
En el método binomial, la probabilidad de que ocurra un evento en k de n veces viene dada por:

donde:

n: número de veces que ocurrirá el experimento
k: número de veces que ocurre un evento
p: probabilidad de que ocurra un evento
P: probabilidad de que el evento no ocurra

Ahora reemplacemos los valores para la situación indicada.
Para ocurrir 3 veces el número 5 tenemos:

n = 7
k = 3
(en cada jugada tenemos 1 caso favorable de 6 posibles)

Reemplazar los datos en la fórmula:

Por lo tanto, la probabilidad de tirar los dados 7 veces y salir 3 veces el número 5 es 7.8%

Ejercicios Propuestos

1) Una bolsa contiene 8 bolas idénticas, pero con diferentes colores: tres bolas azules, cuatro rojas y una amarilla. Se retira una pelota al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola eliminada sea azul?

2) Si se lanza una moneda 5 veces, ¿qué tan probable es que vaya 3 veces?

3) ¿Qué posibilidades hay de que saques un as cuando sacas una carta al azar de un mazo de 52 cartas?

Enem Issues

1) Enem – 2012

El director de una escuela invitó a los 280 estudiantes de tercer año a participar en un juego. Supongamos que hay 5 objetos y 6 personajes en una casa de 9 habitaciones; Uno de los personajes esconde uno de los objetos en una de las habitaciones de la casa.

El objetivo del juego es adivinar qué objeto estaba oculto por qué personaje y en qué habitación de la casa estaba oculto el objeto. Todos los estudiantes decidieron participar. Cada vez que un alumno es dibujado y da su respuesta.

Las respuestas siempre deben ser diferentes de las anteriores, y no se puede sacar al mismo alumno más de una vez. Si la respuesta del alumno es correcta, el alumno es declarado ganador y el juego termina.

El director sabe que algunos estudiantes obtendrán la respuesta correcta porque hay:

a) 10 estudiantes más que posibles respuestas distintas
b) 20 estudiantes más que posibles respuestas diferentes
c) 119 estudiantes más que posibles respuestas distintas
d) 260 estudiantes más que posibles respuestas distintas
e) 270 estudiantes más que posibles respuestas distintas

2) Enem – 2012

En un juego hay dos urnas con diez bolas del mismo tamaño en cada urna. La siguiente tabla indica la cantidad de bolas de cada color en cada cuadro.

Color Urna 1 Urna 2
Amarillo 4 4 0 0
Azul 3 1
Blanco 2 2
Verde 1 3
Rojo 0 0 4 4

Una obra consiste en:

  • 1º: el jugador da una corazonada sobre el color de la pelota que eliminará de la boleta 2
  • 2 °: retira aleatoriamente una bola de la urna 1 y la coloca en la urna 2, mezclándola con las que hay en ella
  • 3 °: luego retira al azar una pelota de la urna 2
  • 4º: Si el color de la última bola tomada es el mismo que la suposición inicial, él gana el juego.

¿Qué color debe elegir el jugador para tener más probabilidades de ganar?

a) azul
b) amarillo
c) blanco
d) verde
e) rojo

3) Enem – 2013

En una escuela con 1.200 estudiantes, se realizó una encuesta de sus conocimientos en dos idiomas extranjeros: inglés y español.

En esta encuesta se encontró que 600 estudiantes hablan inglés, 500 hablan español y 300 no hablan ninguno de estos idiomas.

Al elegir un estudiante de esta escuela al azar y saber que él o ella no habla inglés, ¿qué posibilidades hay de que ese estudiante hable español?

a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 14/05

4) Enem – 2013

Considere el siguiente juego de apuestas:

En una tarjeta con 60 números disponibles, un jugador elige entre 6 y 10 números. Entre los números disponibles, solo se sortearán 6.

El jugador será premiado si los 6 números sorteados se encuentran entre los números elegidos por él en la misma carta.

La tabla muestra el precio de cada tarjeta de acuerdo con la cantidad de números elegidos.

Numero de numeros

elegido de un paquete

Precio del cartucho
6to 2,00
7mo 12.00
8vo 40,00
Noveno 125,00
10 250,00

Cinco apostadores, cada uno con $ 500 para apostar, tomaron las siguientes decisiones:

  • Arthur: 250 cartas con 6 números elegidos
  • Bruno: 41 cartas con 7 números elegidos y 4 cartas con 6 números elegidos
  • Caio: 12 cartas con 8 números elegidos y 10 cartas con 6 números elegidos
  • Douglas: 4 cartas con 9 números elegidos
  • Eduardo: 2 cartas con 10 números elegidos

Los dos jugadores con más probabilidades de ganar son:

a) Caio y Eduardo
b) Arthur y Eduardo
c) Bruno y Caio
d) Arthur y Bruno
e) Douglas y Eduardo

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