El interés compuesto representa la corrección aplicada a una cantidad que ha sido prestada o aplicada. Este tipo de corrección también se llama interés sobre intereses.

Al ser un contenido de gran aplicabilidad, a menudo aparece en concursos, exámenes de ingreso y en Enem. Como resultado, aproveche las siguientes preguntas para verificar su conocimiento de este contenido.

Problemas comentados

1) Enem – 2018

Un acuerdo de préstamo establece que cuando una parte se paga por adelantado, se otorgará una reducción de intereses de acuerdo con el período de anticipo. En este caso, el valor presente, que es el valor en ese momento, se paga de una cantidad que debe pagarse en una fecha futura. Un valor presente P sujeto a interés compuesto a la tasa i por un período de tiempo n produce un valor futuro V determinado por la fórmula

En un contrato de préstamo con sesenta cuotas mensuales fijas de R $ 820.00, a una tasa de interés de 1.32% por mes, junto con la trigésima cuota, se pagará otra cuota por adelantado, siempre que el descuento exceda 25% del valor de la cuota.

Use 0.2877 como la aproximación para y 0.0131 como la aproximación para ln (1.0132).
La primera de las cuotas que se pueden anticipar junto con la 30 es la

a) 56
b) 55
c) 52
d) 51
e) 45º

En la pregunta propuesta, queremos saber qué porción, aplicando la reducción de intereses al pagar por adelantado, el monto pagado tiene un descuento superior al 25%, es decir:

Simplificando la fracción (dividiendo arriba y abajo por 25), encontrando que el monto a pagar por la cuota anticipada debe ser:

La cuota anticipada corresponde al valor futuro ajustado al valor presente, es decir, un interés descontado del 1,32% al pagar esta cuota antes del plazo, es decir:

Donde n es igual al período a anticipar. Al anular esta expresión en la anterior, tenemos:

Como 820 aparece en ambos lados de la desigualdad, podemos simplificar "recortando" este valor:

Podemos revertir las fracciones, teniendo cuidado de revertir también el signo de desigualdad. Entonces nuestra expresión dice:

Observe que el valor que queremos averiguar está en el exponente (n). Por lo tanto, para resolver la desigualdad aplicaremos el logaritmo natural (ln) en ambos lados de la desigualdad, es decir:

Ahora podemos sustituir los valores dados en el enunciado y encontrar el valor de n:

Como n debe ser mayor que el valor encontrado, entonces tendremos que anticipar 22 cuotas, es decir, pagaremos la trigésima cuota junto con la 52 (30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52

2) Enem – 2011

Un joven inversionista debe elegir qué inversión le brindará el mayor rendimiento financiero en una solicitud de $ 500. Para esto, busca ingresos e impuestos a pagar en dos inversiones: ahorros y CDB (certificado de depósito bancario). La información obtenida se resume en la tabla:

Para el joven inversor, al final de un mes, la aplicación más ventajosa es

a) los ahorros, ya que totalizarán R $ 502,80.
b) los ahorros, ya que totalizarán R $ 500.56.
c) el CDB, ya que totalizará R $ 504.38.
d) el CDB, ya que totalizará R $ 504,21.
e) el CDB, ya que totalizará R $ 500.87.

Para averiguar el mejor rendimiento, calculemos cuánto rendirá cada uno al final de un mes. Comencemos calculando los ingresos del ahorro.

Teniendo en cuenta los datos del problema, tenemos:

c = $ 500
i = 0.560% = 0.0056 a.m.
t = 1 mes
M =?

Sustituyendo estos valores en la fórmula de interés compuesto, tenemos:

M = C (1 + i)t
Mahorro = 500 (1 + 0,0056)1
Mahorro = 500.1.0056
Mahorro = $ 502.80

Al igual que en este tipo de solicitud, no hay devolución del impuesto sobre la renta, por lo que este será el monto canjeado.

Ahora calcularemos los valores para el CDB. Para esta aplicación, la tasa de interés es igual a 0.876% (0.00876). Anulando estos valores tenemos:

MCBD = 500 (1 + 0,00876)1
MCBD = 500.1.00876
MCBD = $ 504.38

Este monto no será el monto recibido por el inversionista, ya que en esta solicitud hay un descuento del 4% en el impuesto sobre la renta, que debe aplicarse a los intereses recibidos, como se indica a continuación:

J = M – C
J = 504.38 – 500 = 4.38

Necesitamos calcular el 4% de este valor, para hacer esto:

4.38.0.04 = 0.1752

Aplicando este descuento al valor, encontramos:

504.38 – 0.1752 = $ 504.21

Alternativa: d) el CDB, ya que totalizará R $ 504.21.

3) UERJ – 2017

Se invirtió un capital de C reales a un interés compuesto del 10% por mes y generó, en tres meses, un monto de R $ 53240,00. Calcule el valor en reales del capital inicial C.

Tenemos los siguientes datos en el problema:

M = $ 53240.00
i = 10% = 0.1 por mes
t = 3 meses
C =?

Sustituyendo estos datos en la fórmula de interés compuesto, tenemos:

M = C (1 + i)t
53240 = C (1 + 0.1)3
53240 = 1,331 C

4) Fuvest – 2018

María quiere comprar un televisor que se vende por R $ 1,500 en efectivo o en tres cuotas mensuales sin intereses de R $ 500,00. El dinero que María ha reservado para esta compra no es suficiente para pagar en efectivo, pero descubrió que el banco ofrece una inversión financiera que rinde 1% por mes. Después de hacer los cálculos, María concluye que si paga la primera cuota y, el mismo día, aplica la cantidad restante, podrá pagar las dos cuotas restantes sin tener que poner ni sacar un centavo. ¿Cuánto apartó María para esta compra en reales?

a) 1,450.20
b) 1,480.20
c) 1.485,20
d) 1,495.20
e) 1,490.20

En este problema, tenemos que hacer la equivalencia de valores, es decir, sabemos el valor futuro que se pagará en cada cuota y queremos saber el valor presente (capital que se aplicará).

Para esta situación utilizamos la siguiente fórmula:

Teniendo en cuenta que la aplicación debe generar $ 500.00 al momento del pago de la segunda cuota, que será 1 mes después del pago de la primera cuota, tenemos:

Para pagar la tercera cuota también $ 500.00, el monto se aplicará durante 2 meses, por lo que el monto aplicado será igual a:

Por lo tanto, la cantidad que María reservó para la compra es igual a la suma de las cantidades aplicadas con el valor de la primera cuota, es decir:

V = 500 + 495.05 + 490.15 = R $ 1,485.20

Alternativa: c) R $ 1,485.20

5) UNESP – 2005

Mario tomó prestados $ 8,000 al 5% de interés por mes. Dos meses después, Mário pagó $ 5,000 del préstamo y, un mes después de este pago, pagó toda su deuda. El último monto de pago fue:

a) R $ 3.015,00.
b) R $ 3.820,00.
c) R $ 4.011,00.
d) R $ 5.011,00.
e) R $ 5.250,00.

Sabemos que el préstamo se pagó en dos cuotas y tenemos los siguientes datos:

VP = 8000
i = 5% = 0.05 a.m
VF1 = 5000
VF2 = x

Considerando los datos y haciendo la equivalencia de capitales, tenemos:

Alternativa: c) R $ 4.011,00.

6) PUC / RJ – 2000

Un banco cobra su servicio de sobregiro a una tasa de interés del 11% por mes. Por cada 100 reales de sobregiro, el banco cobra 111 en el primer mes, 123,21 en el segundo, y así sucesivamente. Por un monto de 100 reales, al final de un año el banco cobrará aproximadamente:

a) 150 reales.
b) 200 reales
c) 250 reales.
d) 300 reales.
e) 350 reales.

A partir de la información dada en el problema, identificamos que la corrección del monto cobrado por sobregiro es por interés compuesto.

Tenga en cuenta que el monto cobrado para el segundo mes se calculó considerando el monto ya corregido para el primer mes, es decir:

J = 111. 0.11 = $ 12.21

M = 111 + 12.21 = $ 123.21

Por lo tanto, para encontrar la cantidad que el banco cobrará al final de un año, apliquemos la fórmula de interés compuesto, es decir:

M = C (1 + i)t

Ser:

C = $ 100
i = 11% = 0.11 por mes
t = 1 año = 12 meses
M = 100 (1 + 0.11)12
M = 100.1.1112
M = 100.4998

Alternativa: e) 350 reales

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