El análisis combinatorio presenta métodos que nos permiten contar indirectamente el número de agrupaciones que podemos hacer con los elementos de uno o más conjuntos, teniendo en cuenta ciertas condiciones.

En muchos ejercicios sobre este tema podemos usar tanto el principio fundamental de contar como las fórmulas de disposición, permutación y combinación.

Ejercicios comentados

1) ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos podemos escribir con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

Este ejercicio se puede hacer con la fórmula o el principio fundamental de contar.

1ra forma: usando el principio fundamental de contar.

Como el ejercicio indica que no habrá repetición en los dígitos que conformarán la contraseña, entonces tenemos la siguiente situación:

  • 9 opciones para números de unidad;
  • 8 opciones para el dígito de las decenas, ya que ya usamos 1 dígito en la unidad y no podemos repetir;
  • 7 opciones para los cientos de dígitos, ya que usamos 1 dígito en la unidad y otro en los diez;
  • 6 opciones para los miles de dígitos, porque tenemos que eliminar los que usamos antes.

Por lo tanto, la cantidad de contraseñas estará dada por:

9.8.7.6 = 3,024 contraseñas

2da forma: usando la fórmula

Para identificar qué fórmula usar, debemos darnos cuenta de que el orden de los dígitos es importante. Por ejemplo, 1234 es diferente de 4321, por lo que utilizaremos la fórmula de disposición.

Entonces tenemos 9 elementos para agrupar de 4 a 4. Entonces el cálculo será:

2) Un entrenador de un equipo de voleibol tiene a su disposición 15 jugadores que pueden jugar en cualquier posición. ¿De cuántas maneras puede escalar su equipo?

En esta situación, debemos darnos cuenta de que el orden de los jugadores no hace ninguna diferencia. Entonces usaremos la fórmula combinada.

Combinaremos 6 elementos tomados de un conjunto de 15 elementos.

Ejercicios resueltos

1) ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir teniendo 6 camisas y 4 pantalones?

2) ¿De cuántas maneras diferentes pueden 6 amigos sentarse en un banco para tomar una foto?

3) En una competición de ajedrez hay 8 jugadores. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar el podio (primer, segundo y tercer lugar)?

4) Un comensal tiene una promoción combinada de precio reducido donde el cliente puede elegir 4 tipos diferentes de sándwiches, 3 tipos de bebidas y 2 tipos de postres. ¿Cuántos combos diferentes pueden armar los clientes?

5) ¿Cuántos comités de 4 miembros podemos formar con 20 estudiantes en una clase?

Preguntas de ENEM

1) Enem – 2016

El tenis es un deporte en el que la estrategia del juego a adoptar depende, entre otros factores, de si el oponente es zurdo o diestro. Un club tiene un grupo de 10 tenistas, 4 zurdos y 6 diestros. El gerente del club quiere jugar un partido de exhibición entre dos de estos jugadores, pero ambos no pueden ser zurdos. ¿Cuál es la cantidad de posibilidades para elegir jugadores de tenis para el partido de exhibición?

2) Enem – 2016

Para registrarse en un sitio web, una persona debe elegir una contraseña que consta de cuatro caracteres, dos dígitos y dos letras (mayúsculas o minúsculas). Las letras y los números pueden estar en cualquier posición. Esta persona sabe que el alfabeto consta de veintiséis letras y que una letra mayúscula difiere de la letra minúscula en una contraseña.

El número total de contraseñas posibles para registrarse en este sitio está dado por

3) Enem – 2012

El director de una escuela invitó a los 280 estudiantes de tercer año a participar en un juego. Supongamos que hay 5 objetos y 6 personajes en una casa de 9 habitaciones; Uno de los personajes esconde uno de los objetos en una de las habitaciones de la casa. El objetivo del juego es adivinar qué objeto estaba oculto por qué personaje y en qué habitación de la casa estaba oculto el objeto.

Todos los estudiantes decidieron participar. Cada vez que un alumno es dibujado y da su respuesta. Las respuestas siempre deben ser diferentes de las anteriores, y no se puede sacar al mismo alumno más de una vez. Si la respuesta del alumno es correcta, el alumno es declarado ganador y el juego termina.

El director sabe que algún estudiante obtendrá la respuesta correcta porque hay

a) 10 estudiantes más que posibles respuestas distintas.
b) 20 estudiantes más que posibles respuestas distintas.
c) 119 estudiantes más que posibles respuestas distintas.
d) 260 estudiantes más que posibles respuestas distintas.
e) 270 estudiantes más que posibles respuestas distintas.

4) Enem – 2017

Una compañía construirá su sitio web y espera atraer una audiencia de aproximadamente un millón de clientes. Para acceder a esta página, necesitará una contraseña con un formato establecido por la empresa. El programador ofrece cinco opciones de formato, descritas en la tabla, donde "L" y "D" representan mayúsculas y dígitos respectivamente.

Opcion Formato
Yo LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD

Las letras del alfabeto, entre las 26 posibles, así como los dígitos, entre las 10 posibles, se pueden repetir en cualquiera de las opciones.

La compañía quiere elegir una opción de formato cuyo número de posibles contraseñas distintas sea mayor que el número esperado de clientes, pero que no sea más del doble del número esperado de clientes.

La opción que mejor se adapta a las condiciones de su negocio es

a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.

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