Uno ecuación de segundo grado es toda la ecuación en la forma hacha2 + bx + c = 0, con números reales a, byc y a ≠ 0. Para resolver dicha ecuación, se pueden utilizar diferentes métodos.

Aproveche las resoluciones comentadas de los ejercicios a continuación para responder todas sus preguntas. También asegúrese de probar su conocimiento con las preguntas resueltas del concurso.

Ejercicios comentados

Ejercicio 1

La edad de mi madre multiplicada por mi edad es 525. Si cuando nací mi madre tenía 20 años, ¿cuántos años tengo?

Solución

Considerando mi edad igual a xentonces podemos considerar que la edad de mi madre es igual a x + 20. Como sabemos el valor del producto de nuestras edades, entonces:

x. (x + 20) = 525

Aplicando las propiedades distributivas de la multiplicación:

x2 + 20×525 = 0

Luego llegamos a una ecuación completa de segundo grado, con a = 1, b = 20 yc = – 525.

Para calcular las raíces de la ecuación, es decir, los valores de x donde la ecuación es igual a cero, usemos la fórmula de Bhaskara.

Primero, debemos calcular el valor de ∆:

Para calcular las raíces, utilizamos:

Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, encontraremos las raíces de la ecuación, así:

Como mi edad no puede ser negativa, descuidamos el valor -35. Entonces el resultado es 15 años.

Ejercicio 2

Un cuadrado, que se muestra en la figura siguiente, tiene una forma rectangular y su área es de 1 350 m.2. Sabiendo que su ancho corresponde a 3/2 de su altura, determine las dimensiones del cuadrado.

Solución

Considerando que su altura es igual a x, el ancho será igual a 3 / 2x. El área de un rectángulo se calcula multiplicando su base por el valor de la altura. En este caso tenemos:

Llegamos a una ecuación incompleta del segundo grado, con a = 3/2, b = 0 yc = – 1350, podemos calcular este tipo de ecuación aislando xy calculando el valor de la raíz cuadrada.

Como el valor de x representa la medida de la altura, ignoraremos el valor de 30. Por lo tanto, la altura del rectángulo es igual a 30 m. Para calcular el ancho, multipliquemos este valor por 3/2:

Por lo tanto, el ancho cuadrado es igual a 45 m y su altura es igual a 30m.

Ejercicio 3

Para x = 1 ser la raíz de la ecuación 2ax2 + (2do2 – a – 4) x – (2 + a2) = 0, los valores de a deberían ser:

a) 3 y 2
b) – 1 y 1
c) 2 y – 3
d) 0 y 2
e) – 3 y – 2

Solución

Para encontrar el valor de a, primero reemplacemos x por 1. Entonces la ecuación se ve así:

2.a.12 + (2do2 – a – 4). 1 – 2 – a2 = 0
2do + 2do2 – a – 4 – 2 – a2 = 0
el2 + a – 6 = 0

Ahora debemos calcular la raíz de la ecuación completa del segundo grado, para eso utilizaremos la fórmula de Bhaskara.

Por lo tanto, la alternativa correcta es letra c.

Problemas del concurso

1) Epcar – 2017

Considere, en ℝ, la ecuación (m+2) x2 – 2mx + (m – 1) = 0 en la variable x, donde m es un número real distinto de – 2.

Revise las siguientes declaraciones y clasifíquelas como V (VERDADERO) o F (FALSO).

() Para cada m> 2, la ecuación tiene un conjunto de soluciones vacío.
() Hay dos valores reales de m para que la ecuación admita raíces iguales.
() En la ecuación, si ∆> 0, entonces m solo puede asumir valores positivos.

La secuencia correcta es

a) V – V – V
b) F – V – F
c) F – F – V
d) V – F – F

Veamos cada una de las declaraciones:

Para cada m> 2, la ecuación tiene un conjunto de soluciones vacío.

Como la ecuación es de segundo grado en ℝ, no tendrá solución cuando el delta sea menor que cero. Calculando este valor tenemos:

Por lo tanto, la primera afirmación es cierta.

Hay dos valores reales de m para que la ecuación admita raíces iguales.

La ecuación tendrá raíces reales iguales cuando Δ = 0, es decir:

– 4m + 8 = 0
m = 2

Por lo tanto, la afirmación es falsa porque solo hay un valor de m donde las raíces son reales e iguales.

En la ecuación, si ∆> 0, entonces m solo puede asumir valores positivos.

Para Δ> 0, tenemos:

Como hay en el conjunto de números reales infinitos números negativos menores que 2, el enunciado también es falso.

Alternativa d: V-F-F

2) Coltec – UFMG – 2017

Laura tiene que resolver una ecuación de segundo grado en el "hogar", pero se da cuenta de que al copiar de la pizarra al cuaderno, se olvidó de copiar el coeficiente x. Para resolver la ecuación, regístrela de la siguiente manera: 4x2 + ax + 9 = 0. Como sabía que la ecuación tenía solo una solución y era positiva, pudo determinar el valor de a, que es

a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13

Cuando una ecuación de segundo grado tiene una solución única, el delta de la fórmula de Bhaskara es cero. Entonces para encontrar el valor de el, simplemente calcule el delta igualando su valor a cero.

Por lo tanto, si a = 12 o a = – 12 la ecuación tendrá solo una raíz. Sin embargo, aún necesitamos verificar cuál de los valores de el El resultado será una raíz positiva.

Para esto, encontraremos la raíz, para los valores de a.

Por lo tanto, para a = -12 la ecuación tendrá una sola raíz y positiva.

Alternativa b: -12

3) Enem – 2016

Un túnel debe sellarse con una tapa de hormigón. La sección transversal del túnel y la tapa de hormigón tienen los mismos contornos del arco parabólico. Para determinar el costo del trabajo, un ingeniero debe calcular el área bajo el arco parabólico en cuestión. Usando el eje horizontal a nivel del suelo y el eje de simetría parabólica como eje vertical, obtuvimos la siguiente ecuación para la parábola:
y = 9 – x2, donde x e y se miden en metros.
Se sabe que el área debajo de dicha parábola es igual a 2/3 del área del rectángulo cuyas dimensiones son, respectivamente, iguales a la base y la altura de la entrada del túnel.
¿Cuál es el área del frente de la tapa de concreto en metros cuadrados?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Para resolver esta pregunta, necesitamos encontrar las medidas de la base y la altura de la entrada del túnel, porque el problema nos dice que el área frontal es 2/3 del área del rectángulo con estas dimensiones.

Estos valores se encontrarán a partir de la ecuación de segundo grado dada. La parábola de esta ecuación tiene la concavidad descendente, porque el coeficiente el Es negativo A continuación se muestra el bosquejo de esta parábola.

A partir del gráfico, podemos ver que la medición de la base del túnel se encontrará calculando las raíces de la ecuación. Su altura será igual a la medida del vértice.

Para calcular las raíces, observamos que la ecuación 9 – x2 está incompleto, por lo que podemos encontrar sus raíces al igualar la ecuación a cero y aislar x:

Por lo tanto, la medición de la base del túnel será igual a 6 m, es decir, la distancia entre las dos raíces (-3 y 3).

Al observar el gráfico, vemos que el punto de vértice corresponde al valor en el eje y que x es igual a cero, por lo que tenemos:

Ahora que conocemos las medidas de la base y la altura del túnel, podemos calcular su área:

Alternativa c: 36

4) Cefet – RJ – 2014

¿Para qué valor de "a" la ecuación (x – 2). (2ax – 3) + (x – 2). (- ax + 1) = 0 tiene dos raíces e iguales?

a) -1
b) 0
c) 1
d) 2

Para que una ecuación de segundo grado tenga dos raíces iguales, es necesario que Δ = 0, es decir, b2-4ac = 0. Antes de calcular delta, necesitamos escribir la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.

Podemos comenzar aplicando la propiedad distributiva. Sin embargo, notamos que (x – 2) se repite en ambos términos, así que vamos a ponerlo en evidencia:

(x – 2) (2ax -3 – ax + 1) = 0
(x – 2) (hacha -2) = 0

Ahora distribuimos el producto que tenemos:

hacha2 – 2x – 2ax + 4 = 0

Calculando el Δ e igual a cero, encontramos:

Por lo tanto, cuando a = 1, la ecuación tendrá dos raíces iguales.

Alternativa c: 1

Para saber más, vea también: