La ecuación de la línea se puede determinar representándola en el plano cartesiano (x, y). Conociendo las coordenadas de dos puntos distintos que pertenecen a la línea, podemos determinar su ecuación.

También puede definir una ecuación de la línea a partir de su pendiente y las coordenadas de un punto que le pertenece.

Ecuación general de la recta

Dos puntos definen una línea. Por lo tanto, podemos encontrar la ecuación general de la línea alineando dos puntos con un punto genérico (x, y) de la línea.

Deje que los puntos sean (xel, yel) y B (xb, yb), no coincidente y perteneciente al plan cartesiano.

Se alinean tres puntos cuando el determinante de la matriz asociado con estos puntos es cero. Por lo tanto, debemos calcular el determinante de la siguiente matriz:

Desarrollando el determinante encontramos la siguiente ecuación:

(yel – yb) x + (xel – xb) y + xelyb – xb – yel = 0

Llamemos:

a = (yel – yb)
b = (xel – xb)
c = xelyb – xb – yel

La ecuación general de la línea se define como:

hacha + por + c = 0

Donde el, b y c son constantes y el y b no puede ser simultáneamente nulo.

Ejemplo

Encuentre una ecuación general de la línea que pasa por los puntos A (-1, 8) y B (-5, -1).

Primero debemos escribir la condición de alineación de tres puntos, definiendo la matriz asociada con los puntos dados y un punto genérico P (x, y) que pertenece a la línea.

Desarrollando el determinante, encontramos:

(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0

La ecuación general de la línea que pasa por los puntos A (-1,8) y B (-5, -1) es:

9x – 4y + 41 = 0

Para obtener más información, también lea:

Ecuación lineal reducida

Coeficiente de ángulo

Podemos encontrar una ecuación de la recta r conociendo su pendiente (dirección), es decir, el valor del ángulo θ que la línea presenta en relación con el eje x.

Para esto asociamos un número m, que se llama coeficiente angular de la línea, de modo que:

m = tg θ

El coeficiente angular m También se puede encontrar al conocer dos puntos que pertenecen a la línea.

Como m = tg θ, entonces:

Ejemplo

Determine el coeficiente angular de la línea r, que pasa por los puntos A (1,4) y B (2,3).

Ser

x1 = 1 e y1 = 4
x2 = 2 e y2 = 3

Conocer el coeficiente angular de la recta. m y un punto P0 0(x0 0, y0 0) perteneciente a él, podemos definir su ecuación.

Para esto, reemplazaremos en la fórmula del coeficiente angular el punto conocido P0 0 y un punto genérico P (x, y), también perteneciente a la línea:

Ejemplo

Encuentre una ecuación de la línea que pasa por el punto A (2,4) y tiene un coeficiente angular 3.

Para encontrar la ecuación de la línea simplemente reemplace los valores dados:

y – 4 = 3 (x – 2)
y – 4 = 3x – 6
-3x + y + 2 = 0

Coeficiente lineal

El coeficiente lineal no derecho r se define como el punto en el que la línea interseca el eje y, es decir, el punto de coordenadas P (0, n).

Usando este punto tenemos:

y – n = m (x – 0)

y = mx + n (ecuación reducida de la línea).

Ejemplo

Sabiendo que la ecuación de la línea r viene dada por y = x + 5, identifique su coeficiente angular, su pendiente y el punto en el que la línea se cruza con el eje y.

Como tenemos la ecuación reducida de la línea, entonces:

m = 1
Donde m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
El punto de intersección de la línea con el eje y es el punto P (0, n), donde n = 5, entonces el punto será P (0.5)

Lea también Cálculo del coeficiente de ángulo

Ecuación segmentaria de la recta

Podemos calcular el coeficiente angular usando el punto A (a, 0) en el que la línea interseca el eje xy el punto B (0, b) que interseca el eje y:

Considerando n = by sustituyendo en la forma reducida, tenemos:

Al dividir todos los miembros por ab, encontramos la ecuación segmentaria de la línea:

Ejemplo

Escriba en forma segmentaria la ecuación de la línea que pasa por el punto A (5,0) y tiene coeficiente angular 2.

Primero, encontremos el punto B (0, b), sustituyendo en la expresión del coeficiente angular:

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos la ecuación segmentaria de la línea:

Lea también sobre:

Ejercicios resueltos

1) Dada la línea que tiene la ecuación 2x ​​+ 4y = 9, determine su coeficiente angular.

2) Escribe la ecuación de la línea 3x + 9y – 36 = 0 en la forma reducida.

3) ENEM – 2016

Para una feria de ciencias, se están construyendo dos proyectiles de cohetes, A y B, para su lanzamiento. El plan es lanzarlos juntos, con el objetivo de que el proyectil B intercepte a A cuando alcance su altura máxima. Para que esto suceda, un proyectil describirá una trayectoria parabólica, mientras que el otro describirá una trayectoria supuestamente rectilínea. El gráfico muestra las alturas alcanzadas por estos proyectiles en función del tiempo en las simulaciones realizadas.

Sobre la base de estas simulaciones, se observó que la trayectoria del proyectil B debería modificarse para que
Se logró el objetivo.

Para alcanzar el objetivo, el coeficiente angular de la línea que representa la trayectoria de B debe
a) disminuir en 2 unidades.
b) disminuir en 4 unidades.
c) aumentar en 2 unidades.
d) aumentar en 4 unidades.
e) aumentar en 8 unidades.