Los diezmos periódicos son números decimales periódicos, es decir, tienen uno o más dígitos que se repiten en el mismo orden infinitamente. El dígito que se repite se llama período.

Los números decimales periódicos pertenecen al conjunto de números racionales (), ya que pueden escribirse como una fracción. Por ejemplo, el número 0.444 … también se puede escribir como.

Cuando un número es decimal infinito pero no tiene dígitos repetidos, es decir, no tiene punto, no será un diezmo periódico sino un número irracional.

Diezmo simple y compuesto

Los diezmos se llaman simples cuando muestran la parte completa y después de la coma solo dígitos repetidos.

Ejemplos de diezmos simples periódicos son:

  • 0,34343434 … → parte entera igual a 0 y período igual a 34
  • 1.222222 … → parte entera igual a 1 y período igual a 2
  • 234,193193193 … → parte entera igual a 234 y período igual a 193

Los diezmos periódicos compuestos tienen la parte completa y después de los dígitos no repetitivos de la coma, además de los dígitos repetitivos.

Ejemplos de diezmos compuestos son:

  • 3.125555 … → número entero parte 3, parte no periódica 12 y período 5.
  • 1,7863333 … → parte entera igual a 1, parte no periódica igual a 786 y período igual a 3.
  • 11,2350505050 … → parte entera igual a 11, parte no periódica igual a 23 y período igual a 50.

Representación de diezmos periódicos.

Los diezmos pueden escribirse como una fracción generativa o en forma de un número decimal. Cuando se escribe en forma decimal, ponemos tres puntos al final para indicar que los números se repiten sin cesar.

Incluso podemos representar este tipo de número colocando un guión horizontal justo durante su período.

Ejemplos

Fracción generadora

Como hemos visto, los diezmos periódicos son números racionales. y para encontrar la fracción generadora de un diezmo podemos aplicar un método práctico.

Si el número es un diezmo simple, debemos poner en el numerador un número formado por los dígitos completos y el punto, menos los dígitos completos, sin la coma. Ya en el denominador, ponemos un número formado por "nueves".

La cantidad de "nueves" dependerá de cuántos dígitos componen el período de diezmo. Por ejemplo, en el diezmo 3.1717 … el período es de 2 dígitos (17), por lo que el denominador será 99.

Si el diezmo está compuesto, el numerador se encontrará restando el número formado por los dígitos enteros, los dígitos no repetidos y el punto (sin la coma) y el número entero y el número no repetido, También sin la coma.

En el denominador, también ponemos tantos nueves como los dígitos del período, sin embargo, tenemos que agregar ceros de acuerdo con el número de dígitos que no se repiten en la parte decimal.

Ejemplo

Encuentre la fracción generadora del diezmo que se indica a continuación:

a) 4.5555 …
b) 7.38282 …

Solución

a) El número 4,555 … es un diezmo periódico simple. En este caso, en el denominador tendremos solo un dígito, ya que su período tiene un solo dígito (5). Por lo tanto, la fracción será igual a:

b) Dado que 7.38282 … es un diezmo periódico compuesto, tendremos en el denominador el número 990, porque el período está formado por 2 dígitos (82) y solo tenemos 1 dígito que no se repite en la parte decimal (3).

Video

Hay varias formas de representar el mismo número. Podemos, por ejemplo, escribir el número 1 como 0.9999 …

¿Crees que estos dos números son realmente iguales? No? Luego mira el video y saca tus propias conclusiones.

Ejercicios resueltos

1) Enem (PPL) – 2014

Un estudiante se inscribió en una red social en Internet que muestra la calificación de popularidad del usuario. Este es la relación entre el número de usuarios admiradores y el número de personas que visitan su perfil en la red. Al acceder a su perfil hoy, el estudiante descubrió que su de popularidad es 0.3121212 …

El revela que las cantidades relativas de estudiantes admiradores y personas que visitan su perfil son

a) 103 de 330.
b) 104 de 333.
c) 104 de 3,333.
d) 139 de 330.
e) 1,039 de 3,330.

Para encontrar las cantidades relativas de admiradores y personas que visitaron el perfil del estudiante, necesitamos saber la fracción generadora del diezmo periódico compuesto indicado.

Usando la regla general, tenemos:

Alternativa: a)

2) PUC / RJ – 2003

La suma de 1.3333 … + 0.166666 … es igual a:

Para resumir, convirtamos los números dados en una fracción. Es importante tener en cuenta que 1.333 … es un diezmo periódico simple y 0.1666 … es un diezmo periódico compuesto.

Aplicando la regla de oro, tenemos:

Ahora que conocemos las fracciones generadoras, hagamos la suma:

Alternativa: e)

Para obtener más información, consulte también: