El diagrama de Venn es una forma gráfica que representa los elementos de un conjunto. Para hacer esta representación usamos formas geométricas.

Para indicar el conjunto de universos, usualmente usamos un rectángulo y para representar subconjuntos del conjunto de universos usamos círculos. Dentro de los círculos se incluyen los elementos del conjunto.

Cuando dos conjuntos tienen elementos en común, los círculos se dibujan con un área de intersección.

El diagrama de Venn lleva el nombre del matemático británico John Venn (1834-1923) y está diseñado para representar operaciones entre conjuntos.

Además de aplicarse en conjuntos, el diagrama de Venn se utiliza en diversas áreas del conocimiento, como lógica, estadística, informática, ciencias sociales, entre otras.

Relación de inclusión entre conjuntos

Cuando todos los elementos del conjunto A también son elementos del conjunto B, decimos que el conjunto A es un subconjunto de B, es decir, el conjunto A es parte del conjunto B.

Indicamos este tipo de relación y leemos "A está contenido en B". Todavía podemos usar que representa "B contiene A".

Para representar la relación de inclusión a través del diagrama de Venn, colocamos un círculo dentro de otro círculo para indicar que un conjunto es un subconjunto del otro.

Ejemplo

El conjunto B de los meses del año que comienza con la letra J es un subconjunto del conjunto A de los meses del año. Por lo tanto, podemos representar estos conjuntos a través del diagrama de Venn, como se muestra a continuación:

Operaciones entre conjuntos

Diferencia

La diferencia entre dos conjuntos corresponde a la operación de escribir un conjunto, eliminando elementos que también son parte de otro conjunto.

Esta operación se indica mediante A – B y el resultado serán elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B.

Para representar esta operación a través del diagrama de Venn, dibujamos dos círculos y pintamos uno de ellos, excluyendo la parte común de los conjuntos, como se muestra a continuación:

Unión

La operación de unión representa la unión de todos los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. Para indicar esta operación usamos el símbolo.

En el diagrama de Venn, esta operación se indica pintando toda la parte interna de las circunferencias que representan los conjuntos, de acuerdo con la siguiente imagen:

La intersección entre conjuntos significa los elementos comunes, es decir, todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos al mismo tiempo.

Por lo tanto, dados dos conjuntos A y B, la intersección entre ellos se denotará e indicará en el diagrama de Venn mediante la pintura de parte común, como se indica a continuación:

Número de elementos en un conjunto.

El diagrama de Veen es una gran herramienta para usar en problemas relacionados con el ensamblaje.

Usando el diagrama, es más fácil identificar las partes comunes (intersección) y así descubrir el número de elementos de unión.

Ejemplo

Se realizó una encuesta entre 100 estudiantes de una escuela sobre el consumo de tres marcas de refrescos: A, B y C. El resultado fue: 38 estudiantes consumen la marca A, 30 marca B, 27 marca C; 15 consumen marca A y B, 8 marca B y C, 19 marca A y C, y 4 marca los tres.

Teniendo en cuenta los datos de la encuesta, ¿cuántos estudiantes consumen solo una de estas marcas?

Solución

Para resolver este tipo de preguntas, comencemos dibujando un diagrama de Venn. Cada marca de refresco estará representada por un círculo.

Comencemos poniendo el número de estudiantes que consumen las tres marcas simultáneamente, es decir, la intersección de las marcas A, B y C.

Tenga en cuenta que el número que consume las tres marcas también está incrustado en el número que consume las dos marcas. Entonces, antes de poner estos valores en el diagrama, debemos tomar en común a estos estudiantes

Deberíamos hacer lo mismo para el número que consume cada marca, porque también se repiten las partes comunes. Todo este proceso se presenta en la imagen a continuación:

Ahora que conocemos el número de cada parte del diagrama, podemos calcular el número de estudiantes que consumen solo una de estas marcas sumando los valores de cada conjunto. Así tenemos:

Número de personas que consumen solo una marca = 11 + 8 + 4 = 23

Ejercicios resueltos

1) UERJ – 2015

En una escuela circulan dos periódicos: Mail of the Guild y The Student. En cuanto a la lectura de estos periódicos, por los 840 alumnos de la escuela, se sabe que:

  • El 10% no lee estos periódicos;
  • 520 leyó el periódico El estudiante;
  • 440 leyó el periódico Correio do Grêmio.

Calcule el número total de estudiantes de secundaria que leen ambos periódicos.

Primero, necesitamos saber la cantidad de estudiantes que leen el periódico. En este caso, debemos calcular el 10% de 840, que es igual a 84.

Así, 840 -84 = 756, es decir, 756 estudiantes leen el periódico. El diagrama de Venn a continuación representa esta situación.

Para encontrar el número de estudiantes que leen ambos periódicos, necesitamos calcular el número de elementos en la intersección del conjunto A con el conjunto B, es decir:

756 = 520 + 440 – n (AB)
n (AB) = 960-756 = 204

Por lo tanto, 204 estudiantes leen ambos periódicos.

2) Enem – 2013

En una escuela con 1200 estudiantes, se realizó una encuesta de sus conocimientos en dos idiomas extranjeros, inglés y español.

En esta encuesta se encontró que 600 estudiantes hablan inglés, 500 hablan español y 300 no hablan ninguno de estos idiomas.

Al elegir un estudiante de esta escuela al azar y saber que él o ella no habla inglés, ¿qué posibilidades hay de que ese estudiante hable español?

Sabemos que 300 estudiantes no hablan inglés ni español y que el número total de estudiantes es 1200, por lo que el número de estudiantes que hablan cualquier idioma es 900 (1200 – 300).

Sin embargo, también se informó que 600 hablan inglés y 500 hablan español, agregando estos dos valores encontramos 1100 estudiantes.

Como ya sabemos, 900 estudiantes hablan uno de estos idiomas, por lo que la intersección de estos dos conjuntos es igual a 200, es decir, 200 estudiantes hablan inglés y español.

Para averiguar la cantidad de estudiantes que solo hablan inglés o solo español, hagamos lo que se indica en el diagrama de Venn a continuación:

De acuerdo con los valores en el diagrama de Venn, identificamos que el universo de los estudiantes que no hablan inglés es 600, que es la suma de aquellos que no hablan ninguno de los idiomas con solo español (300 + 300).

Por lo tanto, la probabilidad de elegir al azar a un estudiante que habla español sabiendo que él o ella no habla inglés estará dada por:

Alternativa: a)