Un teoría de probabilidad Es la rama de las matemáticas que estudia experimentos o fenómenos aleatorios y a través de ella es posible analizar las posibilidades de que ocurra un determinado evento.

Cuando calculamos la probabilidad, estamos asociando un grado de confianza en la ocurrencia de posibles resultados del experimento, cuyos resultados no se pueden determinar de antemano.

Por lo tanto, el cálculo de probabilidad asocia la ocurrencia de un resultado con un valor que varía de 0 a 1, y cuanto más cercano a 1 sea el resultado, mayor será la certeza de su ocurrencia.

Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que una persona compre un boleto de lotería ganador o conozca las posibilidades de que una pareja tenga 5 hijos, todos niños.

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquel que no puede predecir qué resultado se encontrará antes de realizarlo.

Los eventos de este tipo cuando se repiten bajo las mismas condiciones pueden dar resultados diferentes, y esta inconsistencia se atribuye al azar.

Un ejemplo de un experimento aleatorio es lanzar un dado no adicto (dado que tiene una distribución de masa homogénea) a la cima. Al caer, no es posible predecir con total certeza cuál de las 6 caras mirará hacia arriba.

Fórmula de probabilidad

En un fenómeno aleatorio, las posibilidades de que ocurra un evento son igualmente probables.

Por lo tanto, podemos encontrar la probabilidad de que ocurra cierto resultado dividiendo el número de eventos favorables y el número total de resultados posibles:

Ser:

p (A): probabilidad de ocurrencia de un evento A
n (A): número de casos que nos interesan (evento A)
n (Ω): número total de casos posibles

Ejemplos

1) Si lanzamos un dado perfecto, ¿cuál es la probabilidad de dejar un número menor que 3?

Solución

Al ser el dado perfecto, las 6 caras tienen la misma posibilidad de caer boca arriba. Entonces apliquemos la fórmula de probabilidad.

Para esto, debemos considerar que tenemos 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que el evento "dejar un número menor que 3" tiene 2 posibilidades, es decir, dejar el número 1 o el número 2 Así tenemos:

2) El mazo de cartas consta de 52 cartas divididas en cuatro palos (corazones, tréboles, diamantes y picas) que son 13 cartas de cada palo. Entonces, si robas una carta al azar, ¿qué posibilidades hay de que una carta salga del club?

Solución

Al retirar una carta al azar, no podemos predecir cuál será esta carta. Entonces este es un experimento aleatorio.

En este caso, el número de tarjetas corresponde al número de casos posibles y tenemos 13 clubes que representan el número de eventos favorables.

Sustituyendo estos valores en la fórmula de probabilidad, tenemos:

Espacio de muestra

Representado por la carta Ω, el espacio muestral corresponde al conjunto de posibles resultados obtenidos de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, cuando se retira al azar una carta de un mazo, el espacio muestral corresponde a las 52 cartas que forman este mazo.

Del mismo modo, el espacio muestral al lanzar un dado una vez, son las seis caras que lo componen:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 y 6}.

Tipos de eventos

El evento es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Cuando un evento es exactamente igual al espacio muestral se llama evento correcto. Por el contrario, cuando el evento está vacío, se llama evento imposible.

Ejemplo

Imagina que tenemos una caja con bolas numeradas del 1 al 20 y todas las bolas son rojas.

El evento "dibujar una bola roja" es un evento seguro, ya que todas las bolas en el cuadro son de este color. El evento "tomar un número mayor que 30" es imposible, ya que el número más grande en el cuadro es 20.

Análisis combinatorio

En muchas situaciones, es posible descubrir directamente el número de eventos posibles y favorables de un experimento aleatorio.

Sin embargo, en algunos problemas necesitará calcular estos valores. En este caso, podemos usar las fórmulas de permutación, disposición y combinación de acuerdo con la situación propuesta en la pregunta.

Para obtener más información sobre el tema, visite:

Ejemplo

(EsPCEx – 2012) La probabilidad de obtener un número divisible por 2 en la elección aleatoria de una de las permutaciones de 1, 2, 3, 4, 5 es

Solución

En este caso, necesitamos encontrar el número de eventos posibles, es decir, cuántos números diferentes obtenemos cambiando el orden de los 5 dígitos dados (n = 5).

Dado que, en este caso, el orden de los dígitos forma números diferentes, utilizaremos la fórmula de permutación. Por lo tanto, tenemos:

Posibles eventos:

Entonces, con 5 dígitos podemos encontrar 120 números diferentes.

Para calcular la probabilidad, todavía tenemos que encontrar el número de eventos favorables que, en este caso, es encontrar un número divisible por 2, que sucederá cuando el último dígito del número sea 2 o 4.

Teniendo en cuenta que para la última posición solo tenemos estas dos posibilidades, entonces tenemos que intercambiar las otras 4 posiciones que conforman el número, así:

Eventos favorables:

La probabilidad se encontrará haciendo:

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Ejercicio resuelto

1) PUC / RJ – 2013

Si a = 2n + 1 con n ∈ {1, 2, 3, 4}, entonces la probabilidad del número el ser pareja es

a) 1
b) 0.2
c) 0.5
d) 0.8
e) 0

Al sustituir cada valor posible de n en la expresión del número a, notamos que el resultado siempre será un número impar.

Por lo tanto, "ser un número par" es un evento imposible. En este caso, la probabilidad es cero.

Alternativa: e) 0

2) UPE – 2013

En una clase de un curso de español, tres personas planean intercambiar en Chile y siete en España. Entre estas diez personas, dos fueron elegidas para la entrevista que sacará becas en el extranjero. La probabilidad de que estas dos personas elegidas pertenezcan al grupo que desea intercambiar en Chile es

Primero, busquemos el número de situaciones posibles. Como la elección de 2 personas no depende del orden, utilizaremos la fórmula combinada para determinar el número de casos posibles, es decir:

Por lo tanto, hay 45 formas de elegir a las 2 personas de un grupo de 10 personas.

Ahora necesitamos calcular la cantidad de eventos favorables, es decir, las dos personas afortunadas quieren intercambiar en Chile. Nuevamente usaremos la fórmula de combinación:

Por lo tanto, hay 3 formas de elegir a 2 personas de las tres que tienen la intención de estudiar en Chile.

Con los valores encontrados, podemos calcular la probabilidad solicitada sustituyendo en la fórmula:

Alternativa: b)

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