Las cantidades proporcionales tienen sus valores aumentados o disminuidos en una relación que puede clasificarse como proporcionalidad directa o inversa.

¿Qué son las cantidades proporcionales?

Una cantidad se define como algo que se puede medir o calcular, ya sea la velocidad, el área o el volumen de un material, y es útil compararlo con otras medidas, a menudo de la misma unidad, que representan una razón.

La proporción es una relación igual entre razones y, por lo tanto, presenta la comparación de dos cantidades en diferentes situaciones.

La igualdad entre a, b, cyd se lee como sigue: a es para b, así como c es para d.

La relación entre las cantidades puede ocurrir directa o inversamente proporcional.

Comprender cómo funcionan las cantidades directa e inversamente proporcional

Cuando la variación de una cantidad hace que la otra varíe en la misma proporción, tenemos una proporcionalidad directa. La proporcionalidad inversa se observa cuando el cambio en una cantidad produce un cambio opuesto en la otra.

Proporcionalidad directa

Dos cantidades son directamente proporcionales cuando la variación de una implica la variación de la otra en la misma proporción, es decir, duplicando una de ellas, la otra también se duplica; reduciendo a la mitad, el otro también reduce en la misma cantidad … y así sucesivamente.

Gráficamente, la variación directamente proporcional de una cantidad en relación con la otra forma es una línea que pasa a través del origen, ya que tenemos y = k.x, donde k es una constante.

Gráfico de y proporcional a x

Ejemplo de proporcionalidad directa

Una impresora, por ejemplo, tiene la capacidad de imprimir 10 páginas por minuto. Si duplicamos el tiempo, duplicamos el número de páginas impresas. Del mismo modo, si detenemos la impresora en medio minuto, tendremos la mitad del número de impresiones esperado.

Ahora, veremos con números la relación entre las dos cantidades.

Las impresiones de libros escolares se hacen en una imprenta. En 2 horas, se realizan 40 impresiones. En 3 horas, la misma máquina produce 60 impresiones más, en 4 horas, 80 impresiones y en 5 horas, 100 impresiones.

Tiempo (horas) 2 3 4 4 5 5
Impresiones (número) 40 60 60 80 100

La constante de proporcionalidad entre las cantidades se encuentra por la relación entre el tiempo de trabajo de la máquina y el número de copias realizadas.

El cociente de esta secuencia (1/20) se llama proporcionalmente constante (k)

El tiempo de trabajo (2, 3, 4 y 5) es directamente proporcional al número de copias (40, 60, 80 y 100), ya que duplicar el tiempo de trabajo también duplica el número de copias.

Proporcionalidad inversa

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando el aumento en una implica una reducción en la otra, es decir, duplicando una cantidad, la cantidad correspondiente se reduce a la mitad; triplicando una cantidad, la otra se reduce a un tercio … y así sucesivamente.

Gráficamente, la variación inversamente proporcional de una cantidad en relación con la otra forma es una hipérbola, ya que tenemos y = k / x, donde k es una constante.

Gráfico de y inversamente proporcional a x

Ejemplo de proporción inversa

Cuando aumenta la velocidad, el tiempo para completar una ruta es menor. Del mismo modo, cuando disminuya la velocidad, se necesitará más tiempo para hacer la misma ruta.

A continuación se muestra una aplicación de la relación entre estas cantidades.

João decidió contar el tiempo que pasaba yendo de casa a la escuela en bicicleta a diferentes velocidades. Observe la secuencia grabada.

Tiempo (min) 2 4 4 5 5 1
Velocidad (m / s) 30 15 12 60 60

Podemos hacer la siguiente relación con los números de secuencia:

Escribiendo como razones iguales, tenemos:

En este ejemplo, la secuencia de tiempo (2, 4, 5 y 1) es inversamente proporcional a la velocidad promedio de pedaleo (30, 15, 12 y 60) y la proporcionalmente constante (k) entre estas cantidades es 60.

Tenga en cuenta que cuando un número de secuencia se duplica, el número de secuencia correspondiente se reduce a la mitad.

Ejercicios comentados sobre cantidades directa e inversamente proporcionales

Pregunta 1

Clasifique las cantidades enumeradas a continuación directa o inversamente proporcional.

a) Consumo de combustible y kilómetros recorridos por un vehículo.
b) Cantidad de ladrillos y área de una pared.
c) Descuento dado en un producto y el monto final pagado.
d) Número de grifos con el mismo flujo y tiempo para llenar un grupo.

Respuestas correctas:

a) Cantidades directamente proporcionales. Cuantos más kilómetros recorre un vehículo, mayor es el consumo de combustible para viajar.

b) Cantidades directamente proporcionales. Cuanto mayor sea el área de una pared, mayor será el número de ladrillos que formarán parte de ella.

c) Cantidades proporcionales inversas. Cuanto mayor sea el descuento otorgado en la compra de un producto, menor será el monto que se pagará por la mercancía.

d) Cantidades inversamente proporcionales. Si los grifos tienen el mismo flujo, liberan la misma cantidad de agua. Por lo tanto, cuantos más grifos se abran, menos tiempo tomará para liberar la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina.

Pregunta 2

Pedro tiene una piscina en su casa que mide 6 m de largo y contiene 30,000 litros de agua. Su hermano Antônio también decide construir una piscina con el mismo ancho y profundidad, pero con 8 m de longitud. ¿Cuántos litros de agua pueden caber en la piscina de Antônio?

a) 10,000 L
b) 20,000 L
c) 30,000 L
d) 40,000 L

Respuesta correcta: d) 40 000 L.

Agrupando las dos cantidades dadas en el ejemplo, tenemos:

Cantidades Peter Antonio
Longitud de la piscina (m) 6 6 8
Flujo de agua (L) 30,000 X

De acuerdo con propiedad fundamental de las proporciones, en la relación entre las cantidades, el producto de los extremos es igual al producto de los medios y viceversa.

Para resolver este problema, utilizamos el X como desconocido, es decir, el cuarto valor que debe calcularse a partir de los tres valores dados en el enunciado.

Usando la propiedad fundamental de las proporciones, calculamos el producto de las medias y el producto de los extremos para encontrar el valor de x.

Tenga en cuenta que entre las cantidades hay proporcionalidad directa: cuanto más larga es la piscina, mayor es la cantidad de agua que contiene.

vea también: Razón y proporción

Pregunta 3

En una cafetería, Alcides prepara jugo de fresa todos los días. En 10 minutos y con 4 licuadoras, la cafetería se las arregla para preparar los jugos que ordenan los clientes. Para reducir el tiempo de preparación, Alcides duplicó el número de licuadoras. ¿Cuánto tiempo tardaron los jugos en estar listos con los 8 mezcladores funcionando?

a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min

Respuesta correcta: d) 5 min.

Batidoras

(número)

Hora

(minutos)

4 4 10
8 X

Tenga en cuenta que entre las magnitudes de la pregunta hay proporcionalidad inversa: cuanto más mezcladores estén preparando el jugo, menos tiempo tomará para que todos estén listos.

Por lo tanto, para resolver este problema, se debe invertir la cantidad de tiempo.

Luego aplicamos la propiedad fundamental de la proporción y resolvemos el problema.

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