Calculo de matriz inversa propiedades y ejemplos


Calcular la matriz inversa: propiedades y ejemplos

La matriz inversa es el resultado de invertir una matriz. Esto se logra realizando el cálculo cu reverse de los valores de cada campo de la misma. La inversión de una matriz es importante para muchas aplicaciones matemáticas y científicas, por lo que en este post explicaremos algunas propiedades comunes y algunos ejemplos.

Propiedades de la matriz inversa

  • Propiedad de multiplicación: multiplicando una matriz por su inversa, obtendrás la matriz identidad.

  • Propiedad distributiva: la inversa de una suma es la suma de las respectivas inversas.

  • Propiedad inversa: la inversa de una inversa es igual a la matriz original.

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Supongamos el siguiente ejemplo: una matriz A = (2 -1 3; 4 0 -2; 5 7 6)

Para calcular, primero debemos determinar el determinante de la matriz. Para eso, debe calcularse la suma de los productos de los elementos en la diagonal principal con sus respectivos signos alternados y multiplicar esta suma por el multiplicador -1. El determinante en este ejemplo es 40.

Una vez calculado el determinante, vamos a calcular los elementos de la matriz inversa. Esto se hace realizando operaciones aritméticas en los campos de la matriz. Por ejemplo, el primer campo de la matriz A es 2, así que para calcular el primer campo de la matriz inversa, restamos el segundo campo multiplicado por -1 y el tercer campo, divididos entre el determinante (40). El resultado es 1/5.

Repitiendo este proceso para los demás campos de la matriz, podemos calcular el resultado de la matriz inversa : (1/5 2/5 -3/5; -4/5 8/5 4/5; -5/5 -7/5 6/5).

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Conclusiones

la inversa de una matriz es el resultado del cálculo inverso de los valores de cada campo de la misma. Esto se puede hacer aplicando algunas de sus propiedades comunes, entre ellas la propiedad de multiplicación, la propiedad distributiva y la propiedad inversa. hemos mostrado un ejemplo de cómo calcular la matriz inversa y hemos calculado el resultado.

Cálculo de matriz inversa, propiedades y ejemplos

La matriz inversa es una herramienta importante al momento de realizar aritmética matricial y puede ser usada tanto en Metodologías Informáticas como en la Investigación Aplicada en Ciencias Básicas. El cálculo de esta matriz se usa, entre otros, para hallar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Su propiedad principal es que al multiplicar una matriz por su matriz inversa, el resultado es una matriz unitaria.

Propiedades

  • Una matriz cuadrada A se tiene inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.

  • En el caso de que la matriz sea cuadrada, la inversa de A es denotada con A-1.

  • La multiplicación de la misma matriz consigo misma da el resultado de una matriz unidad, es decir que A·A-1=A-1·A=I (Matriz unidad).

Ejemplo

Sea la matriz A=[3, 7; –1, -2]. Para calcular la matriz inversa de A, primero calcularemos su determinante:

|A|11=[3,7;-1,-2]=3·(-2)-(-1)·7=14-(-7)=21

Cómo el determinante de A es 21, entonces existe una matriz inversa.

Calculamos ahora la matriz inversa A-1=[-2/21 , 7/21 ; 1/21, 3/21].

verificamos que A·A-1=A-1·A=I.

A·A-1=[3,7;-1,-2] · [-2/21,7/21;1/21,3/21]=[1, 0; 0, 1]=I

A-1·A=[-2/21,7/21;1/21,3/21]·[3,7;-1,-2] =[1, 0; 0, 1]=I

De esta forma, queda verificado que A·A-1=A-1·A=I.

C&aacutelculo de Matriz Inversa: Propiedades y Ejemplos

Definici&oacuten

Una matriz inversa es una matriz que viene dada por la matriz transpuesta de una matriz. Esta se suele denotar por MATRIZ-1 y cumple la propiedad de que la multiplicaci&oacuten de una matriz, por su matriz inversa, da como resultado la matriz identidad.

Propiedades

  • Matriz transpuesta: Consiste en cambiar filas por columnas de una matriz.

  • Multiplicaci&oacuten: La multiplicaci&oacuten de una matriz por su matriz inversa da como resultado una matriz identidad. Esto quiere decir que el resultado de la multiplicaci&oacuten de ambas matrices son unos cuadrados con n&uacutemeros en su diagonal principal de valor 1 y el resto de elementos con los valores 0.

Ejemplos

A continuaci&oacuten veremos dos ejemplos que ilustran ambas propiedades mencionadas anteriormente.

Ejemplo 1: Matriz transpuesta

Consideraremos la matriz A de tama&ntildeo 2×2.

A =

src=https://d1hk9c6hn128uh.cloudfront.net/images/upload/inversa1.png
alt=Ejemplo1″ width=120″ height=50″ />

La matriz transpuesta de A ser&aacute AT.

AT =

src=https://d1hk9c6hn128uh.cloudfront.net/images/upload/inversa2.png
alt=Ejemplo2″ width=120″ height=50″ />

Ejemplo 2: Multiplicaci&oacuten

Consideraremos la matriz A de tama&ntildeo 2×2.

A =

src=https://d1hk9c6hn128uh.cloudfront.net/images/upload/inversa3.png
alt=Ejemplo3″ width=120″ height=50″ />

Ahora consideraremos la matriz inversa de A, que denotaremos por A-1.

A-1 =

src=https://d1hk9c6hn128uh.cloudfront.net/images/upload/inversa4.png
alt=Ejemplo4″ width=120″ height=50″ />

Ahora, la multiplicaci&oacuten de las matrices A y A-1 nos da como resultado la matriz identidad I, que es la matriz cuadrada con valores 1 en la diagonal y 0 en el resto de sus elementos.

I =

src=https://d1hk9c6hn128uh.cloudfront.net/images/upload/inversa5.png
alt=Ejemplo5″ width=120″ height=50″ />

Conclusi&oacuten

Cómo se ha mostrado a trav&eacutes de los ejemplos, una matriz inversa no s&oacutelo se utiliza para calcular la inversa de una matriz, sino que tambi&eacuten cumple la propiedad de que al multiplicar una matriz por su matriz inversa, se consigue como resultado la matriz identidad.

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