Un función cuadrática, también llamado Función polinómica de segundo grado, es una función representada por la siguiente expresión:

f (x) = hacha2 + bx + c

Donde el, b y c son números reales y el ≠ 0.

Ejemplo:

f (x) = 2x2 + 3x + 5,

ser

a = 2
b = 3
c = 5

En este caso, el polinomio de la función cuadrática es de grado 2, ya que es el mayor exponente de la variable.

¿Cómo resolver una función cuadrática?

Mira el paso a paso a través de un ejemplo de resolución de función cuadrática:

Ejemplo

Determine a, byc en la función cuadrática dada por f (x) = ax2 + bx + c, donde:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Primero, reemplacemos el x por los valores de cada función y así tenemos:

f (-1) = 8
a (-1)2 + b (–1) + c = 8
a – b + c = 8 (ecuación I)

f (0) = 4
a. 0 02 + b. 0 + c = 4
c = 4 (ecuación II)

f (2) = 2
a. 22 + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (ecuación III)

Por la segunda función f (0) = 4, ya tenemos el valor de c = 4.

Entonces, reemplacemos el valor obtenido para c ecuaciones I y III para determinar las otras incógnitas (el y b):

(Ecuación I)

a – b + 4 = 8
a – b = 4
a = b + 4

Como tenemos la ecuación de el por la ecuación I, sustituyamos en III para determinar el valor de b:

(Ecuación III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = – 2
4 (b + 4) + 2b = – 2
4b + 16 + 2b = – 2
6b = – 18
b = – 3

Finalmente, para encontrar el valor de el reemplazamos los valores de b y c que ya se han encontrado Logotipo:

(Ecuación I)

a – b + c = 8
a – (- 3) + 4 = 8
a = – 3 + 4
a = 1

Por lo tanto, los coeficientes de la función cuadrática dada son:

a = 1
b = – 3
c = 4

Raíces de la función

Las raíces o ceros de la función de segundo grado representan valores x tales que f (x) = 0. Las raíces de la función están determinadas por la resolución de la ecuación de segundo grado:

f (x) = hacha2 + bx + c = 0

Para resolver la ecuación de segundo grado, podemos usar varios métodos, uno de los más utilizados es aplicar la fórmula de Bhaskara, o sea:

Ejemplo

Encuentre los ceros de la función f (x) = x2 – 5x + 6.

Solución:

Ser
a = 1
b = – 5
c = 6

Al anular estos valores en la fórmula de Bhaskara, tenemos:

Entonces las raíces son 2 y 3.

Tenga en cuenta que el número de raíces de una función cuadrática dependerá del valor obtenido por la expresión: Δ = b2 – 4. ac, que se llama discriminante.

Así,

  • Si Δ> 0, la función tendrá dos raíces reales y distintas (x1 ≠ x2);
  • Si Δ, la función no tendrá una raíz real;
  • Si Δ = 0, la función tendrá dos raíces reales e iguales (x1 = x2)

Gráfico de función cuadrática

La gráfica de las funciones del segundo grado son curvas que se llaman parábolas. A diferencia de las funciones de 1er grado, donde conocer dos puntos es posible dibujar el gráfico, en las funciones cuadráticas es necesario conocer varios puntos.

La curva de una función cuadrática corta el eje x en las raíces o ceros de la función, en la mayoría de los dos puntos dependiendo del valor del discriminante (Δ). Así tenemos:

  • Si Δ> 0, el gráfico cortará el eje x en dos puntos;
  • Si Δ
  • Si Δ = 0, la parábola tocará el eje x en un solo punto.

Hay otro punto, llamado vértice de la parábola., que es el valor máximo o mínimo de la función. Este punto se encuentra usando la siguiente fórmula:

El vértice representará el punto de valor máximo de la función cuando la parábola esté hacia abajo y el valor mínimo cuando esté hacia arriba.

Es posible identificar la posición de la concavidad de la curva analizando solo el signo del coeficiente el. Si el coeficiente es positivo, la concavidad será hacia arriba y si es negativa será hacia abajo, es decir:

Por lo tanto, para trazar el gráfico de una función de segundo grado, podemos analizar el valor de el, calcule los ceros de la función, su vértice y también el punto en el que la curva corta el eje y, es decir, cuando x = 0.

A partir de los pares ordenados dados (x, y) podemos construir la parábola en un plano cartesiano., vinculando los puntos encontrados.

Ejercicios de examen de ingreso a la universidad

1. (Vunesp-SP) Todos los valores posibles de m que satisfacen 2x desigualdades2 – 20x – 2m> 0, para todos x pertenecientes al conjunto de reales, están dados por:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

2. (UE-CE) El gráfico de función cuadrática f (x) = ax2 + bx es una parábola cuyo vértice es el punto (1, – 2). El número de elementos en el conjunto x = {(- 2,12), (-1,6), (3,8), (4, 16)} que pertenecen al gráfico de esta función es:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

3. (Cefet-SP) Sabiendo que las ecuaciones de un sistema son x. y = 50 y x + y = 15, los valores posibles para x y y son:

a) {(5,15), (10,5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5,10), (15,5)}
d) {(5,10), (5,10)}
e) {(5,10), (10,5)}

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