√Ārea de figuras planas: ejercicios resueltos y comentados

√Ārea de figuras planas representa la medida de la medida en que la figura ocupa el plano. Como figuras planas podemos citar el tri√°ngulo, el rect√°ngulo, el rombo, el trapecio, el c√≠rculo, entre otros.

Contenido

√Ārea de figuras planas – C√°lculo de √°reas

Responda las siguientes preguntas para verificar su conocimiento de este importante tema de la geometría.

Problemas resueltos

1) Cefet / MG – 2016

El área cuadrada de un sitio debe dividirse en cuatro partes iguales, también cuadradas, y en una de ellas, debe mantenerse una reserva de bosque nativo (área sombreada), como se muestra en la siguiente figura.

Sabiendo que B es el punto medio del segmento AE y C es el punto medio del segmento EF, el √°rea sombreada, en m2medidas

a) 625.0.
b) 925.5.
c) 1562.5.
d) 2500.0.

 

Al observar la figura, notamos que el √°rea sombreada corresponde al √°rea del cuadrado lateral 50 m menos el √°rea de los tri√°ngulos BEC y CFD.

La medida del lado BE del tri√°ngulo BEC es de 25 m, ya que el punto B divide el lado en dos segmentos congruentes (punto medio del segmento).

Lo mismo sucede con los lados EC y CF, es decir, sus medidas también son iguales a 25 m, ya que el punto C es el punto medio del segmento EF.

Por lo tanto, podemos calcular el √°rea de los tri√°ngulos BEC y CFD. Considerando dos lados conocidos como la base, el otro lado ser√° igual a la altura, ya que los tri√°ngulos son rect√°ngulos.

Calculando el √°rea del cuadrado y los tri√°ngulos BEC y CFD, tenemos:

Alternativa: c) 1562,5

2) Cefet / RJ – 2017

Un cuadrado del lado xy un tri√°ngulo equil√°tero del lado y tienen √°reas del mismo tama√Īo. Por lo tanto, se puede afirmar que la relaci√≥n x / y es igual a:

 

La información dada en el problema es que las áreas son iguales, es decir:

El √°rea del tri√°ngulo se encuentra multiplicando la medida base por la medida de altura y dividiendo el resultado entre 2. Siendo el tri√°ngulo equil√°tero y el lado igual a y, el valor de su altura viene dado por:

3) IFSP – 2016

Una plaza p√ļblica en forma de circunferencia tiene un radio de 18 metros. Dado lo anterior, marque la alternativa que presenta su √°rea.

a) 1.017,36 m2
b) 1,254.98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1,698.44 m2
e) 1.710,34 m2

 

Para encontrar el área cuadrada, debemos usar la fórmula del área circular:

A = ŌÄ.R2

Sustituyendo el valor del radio y considerando ŌÄ = 3.14, encontramos:

A = 3,14. 18 a√Īos2 = 3.14. 324 = 1.017,36 m2

Alternativa: a) 1 017, 36 m2

4) NIIF – 2016

Un rect√°ngulo tiene dimensiones x e y, que se expresan mediante las ecuaciones x2 = 12 y (y – 1)2 = 3.

El perímetro y el área de este rectángulo son respectivamente

a) 6‚ąö3 + 2 y 2 + 6‚ąö3
b) 6‚ąö3 y 1 + 2‚ąö3
c) 6‚ąö3 + 2 y 12
d) 6 y 2‚ąö3
e) 6‚ąö3 + 2 y 2‚ąö3 + 6

 

Primero, resolvamos las ecuaciones, para encontrar los valores de x e y:

x2= 12 ‚áí x = ‚ąö12 = ‚ąö4.3 = 2‚ąö3
(y – 1) 2= 3 ‚áí y = ‚ąö3 + 1

El perímetro del rectángulo será igual a la suma de todos los lados:

P = 2.2‚ąö3 + 2. (‚ąö3 + 1) = 4‚ąö3 + 2‚ąö3 + 2 = 6‚ąö3 + 2

Para encontrar el √°rea, simplemente multiplique x.y:

A = 2‚ąö3. (‚ąö3 + 1) = 2‚ąö3 + 6

Alternativa: e) 6‚ąö3 + 2 y 2‚ąö3 + 6

5) Aprendiz de marinero – 2016

Mira la siguiente figura:

Sabiendo que EP es el radio de semic√≠rculo central en E, como se muestra en la figura anterior, determine el valor del √°rea m√°s oscura y marque la opci√≥n correcta. Dado: n√ļmero ŌÄ = 3

a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2

 

El área más oscura se encuentra sumando el área del semicírculo con el área del triángulo ABD. Comencemos calculando el área del triángulo, así que tenga en cuenta que el triángulo es rectángulo.

Llamemos al lado AD xy calculemos su medida usando el teorema de Pit√°goras:

5to2= x2 + 32
x2 = 25 – 9
x = ‚ąö16
x = 4

Conociendo la medida del lado AD, podemos calcular el √°rea del tri√°ngulo:

Todavía necesitamos calcular el área del semicírculo. Tenga en cuenta que su radio será la mitad de la medida en el lado AD, entonces r = 2 cm. El área del semicírculo será igual a:

El √°rea m√°s oscura la encontrar√°:T = 6 + 6 = 12 cm2

Alternativa: b) 12 cm2

6) Enem – 2016

Un caballero, padre de dos hijos, quiere comprar dos parcelas del mismo tama√Īo, una para cada ni√Īo. Uno de los sitios visitados ya est√° demarcado y, aunque no en un formato convencional (como se muestra en la Figura B), complaci√≥ al hijo mayor y, por lo tanto, fue comprado. El ni√Īo m√°s peque√Īo tiene un proyecto arquitect√≥nico de una casa que quiere construir, pero para hacerlo, necesita una parcela de tierra de forma rectangular (como se muestra en la Figura A) cuya longitud es 7 m mayor que su ancho.

Para satisfacer al hijo m√°s joven, este caballero debe encontrar un terreno rectangular cuyas medidas, en metros, de largo y ancho sean iguales, respectivamente, a

a) 7.5 y 14.5
b) 9.0 y 16.0
c) 9.3 y 16.3
d) 10.0 y 17.0
e) 13.5 y 20.5

 

Como el √°rea de la figura A es igual al √°rea de la figura B, primero calculemos esta √°rea. Para esto, dividiremos la figura B:

Tenga en cuenta que al dividir la figura, tenemos dos tri√°ngulos rect√°ngulos. Por lo tanto, el √°rea de la figura B ser√° igual a la suma de las √°reas de estos tri√°ngulos. Calculando estas √°reas tenemos:

Como la Figura A es un rect√°ngulo, su √°rea se encuentra haciendo:

UnUn = x. (x + 7) = x2 + 7x

Al igualar el √°rea de la figura A con el valor encontrado para el √°rea de la figura B, encontramos:

x2 + 7x = 144
x2 + 7x – 144 = 0

Resolvamos la ecuación de segundo grado usando la fórmula de Bhaskara:

Como una medición no puede ser negativa, consideremos el valor de 9. Por lo tanto, el ancho del suelo de la Figura A será de 9 my la longitud será de 16 m (9 + 7).

Alternativa: b) 9.0 y 16.0

7) Enem – 2015

Una compa√Ī√≠a de tel√©fonos celulares tiene dos antenas que ser√°n reemplazadas por una nueva y m√°s poderosa. Las √°reas de cobertura de las antenas a reemplazar son c√≠rculos de radio de 2 km, cuyas circunferencias son tangentes al punto O, como se muestra en la figura.

El punto O indica la posici√≥n de la nueva antena, y su regi√≥n de cobertura ser√° un c√≠rculo cuya circunferencia circunferenciar√° tangencialmente externamente a las √°reas de cobertura m√°s peque√Īas. Con la instalaci√≥n de la nueva antena, la medici√≥n del √°rea de cobertura, en kil√≥metros cuadrados, aument√≥ en

a) 8 ŌÄ
b) 12 ŌÄ
c) 16 ŌÄ
d) 32 ŌÄ
e) 64 ŌÄ

 

El alcance de la medici√≥n del √°rea de cobertura se encontrar√° disminuyendo las √°reas de los c√≠rculos m√°s peque√Īos del c√≠rculo m√°s grande (refiri√©ndose a la nueva antena).

A medida que la circunferencia de la nueva regi√≥n de cobertura alinea externamente las circunferencias m√°s peque√Īas, su radio ser√° de 4 km, como se muestra en la siguiente figura:

Calculemos las √°reas A1 y A2 de los c√≠rculos m√°s peque√Īos y el √°rea A3 del c√≠rculo m√°s grande:

Un1 = A2 = 22 . ŌÄ = 4 ŌÄ
Un3 = 42.ŌÄ = 16 ŌÄ

La medida del √°rea ampliada se encontrar√° mediante:

A = 16 ŌÄ – 4 ŌÄ – 4 ŌÄ = 8 ŌÄ

Alternativa: a) 8 ŌÄ

8) Enem – 2015

El esquema I muestra la configuración de una cancha de baloncesto. Los trapecios grises, llamados carboys, corresponden a áreas restrictivas.

Para cumplir con las pautas del Comité Central de la Federación Internacional de Baloncesto (Fiba) en 2010, que unificó las marcas de las diferentes ligas, se realizó una modificación en los carritos de las canchas, que se convertirían en rectángulos, como se muestra en el Esquema II.

Después de realizar las modificaciones planificadas, hubo un cambio en el área ocupada por cada cochera, que corresponde a uno

a) aumento de 5 800 cm2.
b) aumento de 75 400 cm2.
c) aumento de 214 600 cm2.
d) disminución de 63 800 cm2.
e) disminución de 272 600 cm2.

 

Para averiguar cuál fue el cambio en el área ocupada, calculemos el área antes y después del cambio.

En el cálculo del esquema I usaremos la fórmula del área del trapecio. En el Esquema II, usaremos la fórmula del área rectangular.

El cambio de √°rea ser√° entonces:

A = AII – AYo
A = 284 200 – 278 400 = 5 800 cm2

Alternativa: a) aumento de 5 800 cm².

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