Área de figuras planas representa la medida de la medida en que la figura ocupa el plano. Como figuras planas podemos citar el triángulo, el rectángulo, el rombo, el trapecio, el círculo, entre otros.

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Área de figuras planas – Cálculo de áreas

Responda las siguientes preguntas para verificar su conocimiento de este importante tema de la geometría.

Problemas resueltos

1) Cefet / MG – 2016

El área cuadrada de un sitio debe dividirse en cuatro partes iguales, también cuadradas, y en una de ellas, debe mantenerse una reserva de bosque nativo (área sombreada), como se muestra en la siguiente figura.

Sabiendo que B es el punto medio del segmento AE y C es el punto medio del segmento EF, el área sombreada, en m2medidas

a) 625.0.
b) 925.5.
c) 1562.5.
d) 2500.0.

 

Al observar la figura, notamos que el área sombreada corresponde al área del cuadrado lateral 50 m menos el área de los triángulos BEC y CFD.

La medida del lado BE del triángulo BEC es de 25 m, ya que el punto B divide el lado en dos segmentos congruentes (punto medio del segmento).

Lo mismo sucede con los lados EC y CF, es decir, sus medidas también son iguales a 25 m, ya que el punto C es el punto medio del segmento EF.

Por lo tanto, podemos calcular el área de los triángulos BEC y CFD. Considerando dos lados conocidos como la base, el otro lado será igual a la altura, ya que los triángulos son rectángulos.

Calculando el área del cuadrado y los triángulos BEC y CFD, tenemos:

Alternativa: c) 1562,5

2) Cefet / RJ – 2017

Un cuadrado del lado xy un triángulo equilátero del lado y tienen áreas del mismo tamaño. Por lo tanto, se puede afirmar que la relación x / y es igual a:

 

La información dada en el problema es que las áreas son iguales, es decir:

El área del triángulo se encuentra multiplicando la medida base por la medida de altura y dividiendo el resultado entre 2. Siendo el triángulo equilátero y el lado igual a y, el valor de su altura viene dado por:

3) IFSP – 2016

Una plaza pública en forma de circunferencia tiene un radio de 18 metros. Dado lo anterior, marque la alternativa que presenta su área.

a) 1.017,36 m2
b) 1,254.98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1,698.44 m2
e) 1.710,34 m2

 

Para encontrar el área cuadrada, debemos usar la fórmula del área circular:

A = π.R2

Sustituyendo el valor del radio y considerando π = 3.14, encontramos:

A = 3,14. 18 años2 = 3.14. 324 = 1.017,36 m2

Alternativa: a) 1 017, 36 m2

4) NIIF – 2016

Un rectángulo tiene dimensiones x e y, que se expresan mediante las ecuaciones x2 = 12 y (y – 1)2 = 3.

El perímetro y el área de este rectángulo son respectivamente

a) 6√3 + 2 y 2 + 6√3
b) 6√3 y 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 y 12
d) 6 y 2√3
e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6

 

Primero, resolvamos las ecuaciones, para encontrar los valores de x e y:

x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y – 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1

El perímetro del rectángulo será igual a la suma de todos los lados:

P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Para encontrar el área, simplemente multiplique x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Alternativa: e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6

5) Aprendiz de marinero – 2016

Mira la siguiente figura:

Sabiendo que EP es el radio de semicírculo central en E, como se muestra en la figura anterior, determine el valor del área más oscura y marque la opción correcta. Dado: número π = 3

a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2

 

El área más oscura se encuentra sumando el área del semicírculo con el área del triángulo ABD. Comencemos calculando el área del triángulo, así que tenga en cuenta que el triángulo es rectángulo.

Llamemos al lado AD xy calculemos su medida usando el teorema de Pitágoras:

5to2= x2 + 32
x2 = 25 – 9
x = √16
x = 4

Conociendo la medida del lado AD, podemos calcular el área del triángulo:

Todavía necesitamos calcular el área del semicírculo. Tenga en cuenta que su radio será la mitad de la medida en el lado AD, entonces r = 2 cm. El área del semicírculo será igual a:

El área más oscura la encontrará:T = 6 + 6 = 12 cm2

Alternativa: b) 12 cm2

6) Enem – 2016

Un caballero, padre de dos hijos, quiere comprar dos parcelas del mismo tamaño, una para cada niño. Uno de los sitios visitados ya está demarcado y, aunque no en un formato convencional (como se muestra en la Figura B), complació al hijo mayor y, por lo tanto, fue comprado. El niño más pequeño tiene un proyecto arquitectónico de una casa que quiere construir, pero para hacerlo, necesita una parcela de tierra de forma rectangular (como se muestra en la Figura A) cuya longitud es 7 m mayor que su ancho.

Para satisfacer al hijo más joven, este caballero debe encontrar un terreno rectangular cuyas medidas, en metros, de largo y ancho sean iguales, respectivamente, a

a) 7.5 y 14.5
b) 9.0 y 16.0
c) 9.3 y 16.3
d) 10.0 y 17.0
e) 13.5 y 20.5

 

Como el área de la figura A es igual al área de la figura B, primero calculemos esta área. Para esto, dividiremos la figura B:

Tenga en cuenta que al dividir la figura, tenemos dos triángulos rectángulos. Por lo tanto, el área de la figura B será igual a la suma de las áreas de estos triángulos. Calculando estas áreas tenemos:

Como la Figura A es un rectángulo, su área se encuentra haciendo:

UnUn = x. (x + 7) = x2 + 7x

Al igualar el área de la figura A con el valor encontrado para el área de la figura B, encontramos:

x2 + 7x = 144
x2 + 7x – 144 = 0

Resolvamos la ecuación de segundo grado usando la fórmula de Bhaskara:

Como una medición no puede ser negativa, consideremos el valor de 9. Por lo tanto, el ancho del suelo de la Figura A será de 9 my la longitud será de 16 m (9 + 7).

Alternativa: b) 9.0 y 16.0

7) Enem – 2015

Una compañía de teléfonos celulares tiene dos antenas que serán reemplazadas por una nueva y más poderosa. Las áreas de cobertura de las antenas a reemplazar son círculos de radio de 2 km, cuyas circunferencias son tangentes al punto O, como se muestra en la figura.

El punto O indica la posición de la nueva antena, y su región de cobertura será un círculo cuya circunferencia circunferenciará tangencialmente externamente a las áreas de cobertura más pequeñas. Con la instalación de la nueva antena, la medición del área de cobertura, en kilómetros cuadrados, aumentó en

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

 

El alcance de la medición del área de cobertura se encontrará disminuyendo las áreas de los círculos más pequeños del círculo más grande (refiriéndose a la nueva antena).

A medida que la circunferencia de la nueva región de cobertura alinea externamente las circunferencias más pequeñas, su radio será de 4 km, como se muestra en la siguiente figura:

Calculemos las áreas A1 y A2 de los círculos más pequeños y el área A3 del círculo más grande:

Un1 = A2 = 22 . π = 4 π
Un3 = 42.π = 16 π

La medida del área ampliada se encontrará mediante:

A = 16 π – 4 π – 4 π = 8 π

Alternativa: a) 8 π

8) Enem – 2015

El esquema I muestra la configuración de una cancha de baloncesto. Los trapecios grises, llamados carboys, corresponden a áreas restrictivas.

Para cumplir con las pautas del Comité Central de la Federación Internacional de Baloncesto (Fiba) en 2010, que unificó las marcas de las diferentes ligas, se realizó una modificación en los carritos de las canchas, que se convertirían en rectángulos, como se muestra en el Esquema II.

Después de realizar las modificaciones planificadas, hubo un cambio en el área ocupada por cada cochera, que corresponde a uno

a) aumento de 5 800 cm2.
b) aumento de 75 400 cm2.
c) aumento de 214 600 cm2.
d) disminución de 63 800 cm2.
e) disminución de 272 600 cm2.

 

Para averiguar cuál fue el cambio en el área ocupada, calculemos el área antes y después del cambio.

En el cálculo del esquema I usaremos la fórmula del área del trapecio. En el Esquema II, usaremos la fórmula del área rectangular.

El cambio de área será entonces:

A = AII – AYo
A = 284 200 – 278 400 = 5 800 cm2

Alternativa: a) aumento de 5 800 cm².